Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
|3, получаем |3 =
<5 9.4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
583
= e(Kz - К~) al2x7i = Подставив это выражение (3 и выражение (82) в
правую часть уравнения (81), убеждаемся в том, что она совпадает с
найденным из (82) выражением dZ. Следовательно, выражение (82)
удовлетворяет уравнению (81), что и доказывает наше утверждение. М
Таким образом, мы распространили полученный в п. 7.3.8 для линейных
систем результат на значительно более широкий класс задач условно
оптимальной экстраполяции состояния как линейных систем, так и линейных
систем с параметрическими шумами. Впрочем, этот результат ясен
интуитивно, поскольку математическое ожидание (как априорное, так и
апостериорное) члена с dW в уравнении Ито всегда равно нулю, вследствие
чего основную роль для прогнозирования состояния системы играет линейная
часть а.. Z а_" в правой части второго уравнения (77).
Докажем, что в найденный условно оптимальный экстраполятор оптимален в
классе всех линейных экстраполяторов. Для этого достаточно показать, что
его ошибка в любой момент t не корре-лирована со значениями наблюдаемого
процесса Ya при всех а -+ /.
> Из формулы для Zt+д, полученной путем интегрирования второго уравнения
(77), и формулы (82) следует, что ошибка условно оптимального
экстраполятора Zf = Zf - Z^+A связана с ошибкой условно оптимального
фильтра Zlf формулой
t + д
Zf = eZlf- 5 u{t + 'A, r)c.2(r)dW1(r).
t
Умножив это равенство справа на Y% при ст+Д, взяв математическое ожидание
и учитывая независимость Уа и с, (t) от dWt, находим
MZtYl = &MZltYl, а < t.
Но по доказанному в п. 9.4.1 MZltY^ = 0 при всех Следо-
вательно, и MZtYl = 0 при всех а ^ t, что и доказывает наше утверждение.
В частном случае линейных уравнений (77), когда сг - О (г = 1, . . ., т +
р), найденный условно оптимальный экстраполятор совпадает с оптимальным
экстраполятором п. 7.3.8. Следовательно, в случае линейных уравнений (77)
и винеровских процессов Wг (t) и W2 (t) условно оптимальный экстраполятор
оказывается оптимальным среди всех экстраполяторов.
Для оценки точности экстраполяции можно воспользоваться формулой (43) для
производной ковариационной матрицы ошибки
584 ГЛ- 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ и ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
-Р
экстраполяции, которая дает уравнение R = "22 (t + A) R + Ra 22 (t + А)т
-
т + р \ / т + р \
Сю + 2 С1гтг v2 ( Cl" + 2 с\гтг ) +
r= 1 У \ г=1 /
т + /7
f 2 clrv2cTlskrs
г, s = 1 т + р
2 с2г (/ + А) шТ (t + А)
РТ +
r-m+ 1
"20 it + А) -ф vx (/ + А)Х
X
т + р
с2о(^ + ^)т+ 2 С2Г (^ + А)Ттг (/+ А)
r=m+ 1
+ 2 "2г (/+ A) Vj (t -ф A) c2s {t + A)Tkrs. (83)
г, s=m + 1
Пример 11. В задаче примера 10 при a2i = n2o = c2i = 0 и постоянном а22
условно оптимальный экстраполятор представляет собой последовательное
соединение условно оптимального фильтра примера 10 и усилителя с
коэффициентом усиления Е = е°!!А.
9.4.3. Фильтрация при автокоррелированной помехе. Применим изложенную
в § 9.3 теорию к частному случаю линейной системы с параметрическими
шумами, линейного уравнения наблюдения и линейного фильтра. В этом случае
уравнения (9) имеют вид
У - ЬцУ + b12Z + bi3N + b10, dZ = (auK + a12Z + a13N + a10) dt +
+ ("10 + 2 "l/+r + 2 "1, m + TZ -j- 2 "1, т+р+т^г) dW, \ r= 1 T- 1
r- 1 J
dN - ("21Y + "22Z + a23N + a23) dt -Ф
/ m p ft \
+ ( C20+ 2 C2tYr+ 2 "2, m + r^r + 2 "2, m+p + r^r jdW. (84)
r= 1
T- 1
r= 1
> На основании формулы (47) и первой формулы (49) уравнения (46) и
последнее уравнение (50) имеют в данном случае вид
Кш = bklY + bk2Z + bk3N + bk0 (6=1, . .., s),
dY<s) = (bi+i, iY + bs+1,2Z + bs+1' 3N + bJ+i, o) dt +
/ m p ft \
+ ( "зо+ 2 "3/-Пr + 2 "3, m + r^r + 2 "з, m + p + rRr ) dW, (85)
\ r=l r= 1 r= 1 J
где функции времени Ьк1 определяются рекуррентной формулой
bk+i, i = bk3blt+Ьк2аи + Ькза21 + Ьк1 (1 = 0, 1,2,3; k=\ ,...,s),
(86)
§ 9.4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
585
а
csr = bs2clr + bs3c2r (г = 0, 1 m + p + h). (87)
Уравнение допустимых фильтров (3) имеет вид
rfZ = a[F<1)T ... Y(tm)TY*ZTydt + QdYls) + ydt.
Положив для краткости X - [У(1) т ... Yls) т]т, перепишем первые s
уравнений (85) в виде одного уравнения
X = b1Y + biZ + baN + bt, (88)
где
bt = [bh ... ЬЪУ (/ = 0, 1, 2, 3). (89)
При этом уравнение допустимых фильтров примет вид
dZ = a [XTFTZT]T dt + + ydt. (90)
Подставив выражения функций 9J+1, ф и из второго уравнения (84) и
последнего уравнения (85) в (52) и учитывая несмещенность оценки Z и
вытекающие из (20) равенства Kzy = К?у>
Кгг-Кг' наХОДИМ
%02 ~ Rbg + i, 2 (Kzn К z tl) bs+1, 3 + 013, %22 - <ГзЗ>
где R - Kz - -ковариационная матрица ошибки фильтрации,
буквой К с индексами обозначены, как всегда, ковариационные и взаимные
ковариационные матрицы соответствующих случайных векторов,
m+p+h m+p+h
<*u = cit\'c]Q+ 2 (cirvc}a + citvc]r)mr + 2 cir\'c]q{mrmq + krq)
i= 1,2,3), (91)
m, и krq (r, q- 1, ..., m + p + h)-математические ожидания компонент
случайного вектора Q = [УТ2ТУт]г и элементы его ковариационной матрицы.
