Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(s, t) обратимся к формуле (6.16), которая дает уравнение
dKz(t, s)/ds = Kz(t, s) а22 (s)T при s^zt.
Но нам необходимо значение Kz(s, t) при s^t. Поэтому, вспомнив, что в
силу (2.27) Kz{s, t) = Kz(t, s)T, транспонируем полученное уравнение.
Тогда будем иметь
dKz(s, t)/ds = a22(s) Kz(s, t) при s^t.
Решение этого однородного линейного уравнения при начальном условии Kz
(t, t) = Kz (0 - Kz определяется формулой
Kz(s, t) = u(s, t)Kz, s^zt,
где u(s, t)-фундаментальная матрица решений уравнения du/ds = = a22(s)u,
т. e. решение этого уравнения, удовлетворяющий условию u(t, t) - /.
Положив е = u (i + A, t), будем иметь Kz (t + A, t) =--- sKz- Кроме того,
приняв во внимание, что в силу (14) и (20)
M(Z,+A -2)=*0, M(Zt+A - Z)KT = 0, M(Z,+A -Z)ZT=0,
находим
Kzy(t + A, t) = K~ty, Kz7(t + A, t) = K2.
Подставив найденные выражения АГД^ + Д, t), Кгу{( + A, t) и Kzi(t + A, t)
в последние две формулы (78), получим
"о! = ["22(^ + А) К^у a22(t + A)K~],
^02 = (бKz К "12 •
Для нахождения а и у по формулам (22) и (15) выразим величины тг(/-ф А),
/(гу и /Cz2 в формуле (78) для ш,ив формуле (68) для х21 соответственно
через tnz, К~у и /(;• Для этого проинтегрируем второе уравнение (77),
приняв за начальный момент i, а за конечный / + Д. Пользуясь для этого
формулой (3.32), .находим
t + А
Z(+a - м (/ -ф А, t)Zt + h(t)+ § и(/ + А, т) с2 (т) dW1(x),
§ 9.4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
581
где
t+л
h(t)= \ u(t + A, x)a.20(x)dx, (79)
t
а через с2 обозначен весь коэффициент при d,W± в (77). Отсюда, учитывая,
что ы(^ + А, t) = & и что Yt и Zt независимы от dW± и MW1(t) = 0,
получаем
mz {t + A) = гт2 (t) + h(t) = emz + h,
Kzyit + A, i) = eKzy, Kz~(t + At t) = ?K.z$.
Подставив найденное выражение mz(t + А) в первую формулу (78), будем
иметь
т0 - а22 (t + A) (emz + h) + a2Q{t + А).
Сравнив полученные выражения Kzy(t + A, t) и /Czj(^ + A, /) с найденными
раньше, получим K~y = ?Kzy, •^5=е-^гг- Отсюда, имея в виду, что матрица е
= ы(/ + А, /) обратима (п. 1.3.2), находим К2у = г~1К~у, Кг~ = г~1К~.
Подставив эти выражения в формулу (68) для щи будем иметь
*21 = [<h iK" + auKzy оцКд ~ + а12Кг з ] =
= [ацКи+а1гг~1К~у а1гК+ а12г~хК г].
Наконец, подставив найденные выражения m0, xoi, х02 и х21 в (15), (18) и
(22), находим оптимальные а, р и у в (67):
а = [с^а,] = [- рац/С" + (а22 (/ + А)-ра12е-1} К~у -
- Р^ц/С^з + {а22 (/ + А)-ра12е х} К j] ^ц1 =
= [-P"ii а22(/ + А) -Ра^е"1],
Р = (ьКг - К~г) d[M2i\
у =а20(/ + Д)-Pa10 + pa12e_1/i, (80)
где х22 определяется последней формулой (68), а все величины без указания
аргументов берутся в момент t.
Подставив выражения (80) в (67), получаем уравнение условно оптимального
экстраполятора
dZ - [а22 (/ A) Z 6z20 (t A)] dt -f-
+ Р [dH- (ацП + а12е xZ-\-a^-g12& 1h)dt]. (81)
Необходимые для вычисления х22 по формуле (68) и Р по формуле (80)
моменты второго порядка можно найти из уравнений вида (73) и (74) для
составного вектора [HTZTZT]T*). М
*) Обратим внимание на то, что роль матриц с%г и с2г теории п. 9.4.1 в
нашем случае играют [0 с1г] и [с2г 0], а матрица v диагональна.
582 гл- 9- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Докажем теперь, что найденный условно оптимальный экстра-полятор можно
представить в виде последовательного соединения условно оптимального
фильтра, усилителя с коэффициентом усиления e = u(t-\- Д, t) и сумматора,
вводящего неслучайное слагаемое h (t), определяемое формулой (79), т. е.
что
Z = EZ1 + h, (82)
где Zj - выходной сигнал условно оптимального фильтра - условно
оптимальная оценка текущего состояния системы Z. Чтобы доказать это,
достаточно показать, что (82) удовлетворяет уравнению (81) условно
оптимального экстраполятора.
> Из (82) находим стохастический дифференциал величины Z:
dZ = EdZ1 + (eZx + h) dt.
Ho Zx как выходной сигнал условно оптимального фильтра удовлетворяет
уравнению (72), которое в нашем случае имеет вид
dZ-t = (a22Z1 + а20) dt + & [dY - (a1±Y + a12Z1 + a10) dt],
где pi = Ridizitiz, a Ri = Kz- -ковариационная матрица
ошибки условно оптимального фильтра. Чтобы найти h, продифференцируем
формулу (79). Имея в виду, что u(t + A, ^ + Д) = /, u(t + A, t) = e и
du(t-\-A, i)/dt = a22(t-]-A)u(t + A, т), находим
h - "20 {t "Г ^) ?"20 4" "22 (t 4" ^) h-
Чтобы вычислить е, вспомним, что на основании результатов пп. 1.3.2 и
1.3.3 (формулы (1.22) и (1.29))
du(s, t)/ds = a22(s)u(s, t), du(s, t)/dt = - и (s, t)a22(t). Тогда будем
иметь
е = "22(/ + Д)е - е"22.
Подставив найденные выражения dZu h и е в формулу для dZ, получим
dZ = е (a22Z1 + а20) dt + е& [dY - (auY + a12Zx + a10) dt] =
= ["22[t + д) e-^1 - ?"22-^1 + "20 {t + д) - ?"20 + "22 (t + A) h] dt =
= ["22 (t + A) (e^i 4" h) 4~ "20 4- A)] dt -j-
+ ePi\dY - (a11Y + a12Z1 + a10)dt].
Вычислим теперь правую часть уравнения (81) для Z, определяемого формулой
(82). Учитывая, что |3 в (67) зависит от выходного сигнала фильтра Z, из
(82) находим К^г = z = eKz ¦ Подставив это выражение в формулу (80) для
