Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Докажем, что фильтр, определяемый уравнением (72), оптимален в классе
всех линейных фильтров. Для этого достаточно показать, что ошибка
фильтрации не коррелирована с любым результатом измерения Ys, s6[^o> i]
(ТВ, п. 9.2.5). Чтобы сделать это, напишем уравнение для ошибки
фильтрации Zt = Zt - Zt. Вычитая второе уравнение (66) из (72), находим
dZt = (а22 - Ра12) Ztdt +
т + р
Рс10 с2а + 2 (Рс1г c2r) Qr
г= 1
dW.
578 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Умножив это уравнение почленно справа на У?, взяв математическое ожидание
и учитывая, что случайный вектор Qx - \YlZ'\\v не коррелирован с dW, при
получим
d№ZtYl = (а.,.2 - ра12) MZtYl dt при т t.
Но в силу (20) MZTYl = 0, Vt?[70, /]. Следовательно, MZtY\ = 0 при всех
tt^x.
Таким образом, мы имеем пример, когда условно оптимальный фильтр является
оптимальным и в более широком классе всех линейных фильтров.
В частном случае линейной системы (66), когда сг = 0 (г = 1, ...
. . ., m-Yp), уравнения (72) и (75) совпадают с уравнениями (7.32) и
(7.30) теории оптимальной линейной фильтрации. Следовательно, в частном
случае винеровского процесса W (t) в (66) при сг = 0 (r= 1, ..., т-\-р)
условно оптимальный фильтр оказывается оптимальным и в классе всех
возможных фильтров.
Заметим, что в рассмотренном случае нет необходимости использовать
уравнение (31). Это объясняется тем, что оптимальные а, Р и у зависят в
этом случае только от первых и вторых моментов случайных векторов Q =
[yrZT]T и Z = Z-Z, которые определяются уравнениями (73) - (75).
Для того чтобы найти доверительные области для Zf, достаточно знать
совместное распределение величин Zt, Zt. Это распределение полностью
определяется характеристической функцией
V. t) случайного вектора [YjZ]Z]]T, которая находится из уравнения (31).
Это уравнение в данном случае принимает вид
~gf~ = (^ian + Zla2l Y Zla21) -f А?а22 + Z(|3ai2)
-f %l (a22 - Pa21) + i (XJa10 + XT2a20 -f XJa20) +
{( p \ f m
H' I ( Icjo + 2 cJrYr -¦ 2^ cl, m+r^rj 0 + 2 C\rYr -j-
P \ \
+ 2 cl m+rzr ] (L + PrA3); t exp {iXlY + i'/dZ + ЦЩ. (76)
r=l / /
Для винеровского процесса W(t) (76) представляет собой линейное уравнение
в частных производных второго порядка.
В частном случае линейной системы (66) уравнение (76) представляет собой
линейное уравнение в частных производных первого порядка, которое легко
интегрируется стандартным методом п. 5.4.2. В результате можно получить
явное выражение характеристической функции ошибки фильтрации Z = Z-Z.
Определив распределение ошибки, можно находить доверительные области для
Z.
§9.4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
579
Предоставляем читателю самостоятельно проверить, что тот же условно
оптимальный фильтр (72) получится и в том случае, когда класс допустимых
фильтров определяется формулой Z = AU и уравнением (2) при
1{у, и, t) = [yTuTY, ц{у, и, t) = Im,
при любом N ^ р и любой постоянной рх ./V-матрице А ранга р. Это,
конечно, прямое следствие того, что фильтр (72) оптимален среди всех
линейных фильтров.
Пример 10. В случае скалярных уравнений (66) с независимыми белыми шумами
Vi, V2
У - ацУa12Z-)-а10 -j- (сю Ч-СцУ-f- c12Z) Vlt Z = Ct21Y +a22Z+O20 +
(C20+C2lV + C22Z) V2,
0r 1} (-0.1.2). v=[^
и формулы (68) и (70) дают
Х22 - Vi (Сю + Сц/Mi +С12/ГС2)2 4" (с11&11 4" 2CiiC12? 12+^12^22).
Р = хГ21а12^-
Уравнения (73) - (75), определяющие mi, тг> &n> ^12. ^22 и P, имеют вид
mi = ацГПх + a12m2 -f a10,
tTl2 - Q2\tTl\ -j- CL22tTl2 -7- Я20"
кц = 2 (flnAii -]- ^12^12) + Ti (ci0 -fCn/п! -)- C12m2)2 +
+ V1 (Cllfeu + 2СцС!2Й12 -t C12&22) I
Й12 = (ац -J-a22) Й12 + а21Йц + а12^22>
"22 = 2 (021^12 + 022^22) "Ь v2 (c20"bc21^1 "Ь C22^2)2 "Ь
+ V2 (c2l& 11 4" 2f2lC22^12 +^22^22)* P = 2a22R-X22 ai2/?2 4- V2 (его Ч-
^21^1 -j-c22tn2) 4-^2 (C21&11 4- 2.c2ic22k±2 c22k22)<
9.4.2. Экстраполяция. Аналогично решается задача условно оптимальной
экстраполяции состояния системы с параметрическими шумами. Уравнения (7)
в этом случае имеют вид
dY = (а.цУ + a12Z-j-a10)dt -f- (4ц, + ^i^clrYr-j- m+rZ^jdW2, dZ = (a22Z +
a20)dt + (c20 + 'Ec2< m+rZ^dWu (77)
где ^i(^) и W2 {t) - независимые процессы с независимыми приращениями.
*) Обратим внимание на то, что Cir и с2г в этой задаче не те, что в общем
случае в уравнениях (66). Они представляют собой соответственно первые и
вторые элементы матриц-строк, на которые умножается вектор [ViV2]T в
(66). Для простоты мы оставляем для них обозначения с1г и с2г.
580 гл- 9- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
> Для нахождения оптимальных коэффициентов а, (3, у в (67) сначала найдем
для этого случая т0, и01 и и02. Подставив в (34) -(36) выражения функций
<р, сри \ и г] = /, находим
то = "22 (t + л) tnz (t + А) + а20 (t + А),
y"oi= ["22 (^ + A)(^-ф A, t) а22 (i -ф A) Кг~ (^ + A, ^)J,
х02 = [/С^у (^ + А, ^)-/С~у]"ц + [Кг (t-\- А, ^) - /Cjz]al2, (78)
где Kz{s, t), Kzy(s, t) и Kz~(s, t)-ковариационная функция процесса Z (t)
и его взаимные ковариационные функции с Y (t) и Z(t). Для вычисления Кг
