Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ф]+1]т, [0...0 фф]т и [0 ... 0 л].
9.3.7. Формула для производной ковариационной матрицы ошибки.
Совершенно так же, как в п. 9.2.7 были выведены формулы (42) и (43),
выводятся формулы для производной по вре-
§ 9.4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
575
мени ковариационной матрицы ошибки условно оптимальных фильтра и
экстраполятора в случае автокоррелированной помехи в наблюдениях.
В результате получаются формула для производной по времени ковариационной
матрицы ошибки условно оптимального фильтра
R = M[(Z-Z)y(Y, Z, N, /)Т + Ф(К, Z, ,V, /)(Zr~Zr) +
+ ф(У, Z, N, t) v (/) ф (Y, Z, К, /)т-
-Р г, (У', U, t)^(Y, Z, N, t) v (t) фу (Y, Z, N, tyn(Y\ U, ty]
(64)
и формула для производной по времени ковариационной матрицы ошибки
условно оптимального экстраполятора
R=-M [(Z<+A-Zt)cp(Z(+A, / -г А)т + ф (Zt+A, tyA)(ZJ+A-ZJ)y ~i^(Z(+A, t +
A) vx (/у А) ф (Zt+/ + А)Г -
- Pil(y;, Ut, /)фч (Yt, Zu Nu t)v1(t)^1(Yf, Zt, Nt, t)T v\{Y'h Ut, t)c],
(65)
где Y' = [У(0) T У(1> r Yl's) T]T У(и) = Y
Формулы (64) и (65) можно также получить из (42) и (43) чисто формально
как частные случаи, заменив аргумент Z функций ср, ф. фф парой Z, N,
аргумент Y функции г] блочным век-
тором Y' = [У<0) 1 У(1) т ... У<*> т]г и матрицы т] и фф блочными
матрицами [0 . . . О т)] и [0 . . . О фТ]т.
§ 9.4. Линейная фильтрация и экстраполяция
9.4.1. Фильтрация. Рассмотрим частный случай линейных относительно Y,
Z уравнений (5),
I
Р
\
dY = {a11Y-Ya1"Z ya10)dt + [c10+ 2 clrYr 2 c^m + rZr \dW,
\ r- 1 r - 1 /'
f tn p \
dZ = (a.nY У a,..Z + azo) dt у (c20 + 2 c,,rY r -f 2 A>, m+ rZrj
dW, (66)
где ars и crs-функции t, не зависящие от Y = \Y1 • •• Ym]T,
Z=[Zt . ¦ ¦ Z ]т. Класс допустимых фильтров определим уравнением
dZ = a\Ylby dt-Y^dY y^dt. (67)
В этом случае
Ф1 {у> 2, ~ @.цУ ^12^ "Ь ^1о>
ф (у, z, t) = апу + а22г + а20,
т р
ФЛУ, 2, /)=с10+ 2 С1гУг+ 2 CUm + rZr,
г = 1 г = 1
т р
Ф((/, Z, t) = С20 + 2 С2гуг + ^2 С2, m + rzr,
1{у, z, t) = [yrzTY, Tl (у, z, t) = I.
576 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ и ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Подставив эти выражения в (19) и (21), находим
"01 = ["21^4/ 4~ "22^zi/ "ai^j/z 4~"22^(гг]>
"02 = (К2у - К гу) "II +(Кг - К гг) "12 +
/ т + р \ / т + р тл-р
+ (с2о+ 2 с2гтг)у[с\0+ 2 C\rmrJ + ''Zc2rvc\skrs,
Г=1
Г=1
Ии 5=
Ку к.
• 2?/ 2 j
И21---3<12 [#11 Ку Ч" &l2^zy &llKyzl Ч~ ^12 ^ZZ
]"
m + p \ / m + p \ m + p
"22 = Uio + 2 444 ; v I clo + 2 cTlrmr + 2 clrvcTlskrs, (68)
Г= 1
4
f - I
Г, s= 1
где К у, К z, Кг, Kyz = Kly, Кгг=1Сгг, Куг= Kiy -нова рИЗЦИОН-ные и
взаимные ковариационные матрицы случайных векторов YZb Zt, тГ-
математическое ожидание компоненты Qr случайного вектора Q==[K1 . . .
YmZx . . . Z^]r, a krs - ковариация компонент Qr, Qs вектора Q. Учитывая,
что согласно (14) и (20) Kz=Kzi, Kzy = Kzy и, следовательно, Kz-K?z = Kz
- Kz=R, получаем
"01 = ["21К у ~г CL-llK ?у 0"цКу? 4" "22 К j ],
/ т 4 р \ / т + р \ т + р
Х02 " Ra\% Ч~ ( С20 "Г" 2 С2гтг ) V I С10 Ч~ 2 С1Гтг ) Ч~ 2 C2rVClS^r5>
Г= 1
г= 1
/ Г, S- 1
К у к~
и У*
к~ к~
гу г
"и =
"21 = ["11-^4 "Г +гКгу a^Kfz+a^Kil
Подставив эти выражения в (22) и (18), получим
а = [ttjOCa] = [("21 - P"ll) Ку + ("22 P"2l) К?у
(69)
("21 P"ll) Ку? + ("22 P"2l) К г ]
Ку \~г К,у К~г
:["21 Р"11 "22 P"ia]l
( /' т + р \^ /* т + р \ т + р ^
Р = S RaTn+[ с204- 2 444 \ v ( do+ 2 c[rmr )+ 2 44CIA* f^l1-
I \ r=l J \ r= 1 J r, s= 1 1
(70)
Оптимальное значение у находится из уравнения (15) с помощью формулы
(16):
Y = "21ту + "22"4 4- а20 - " [Щ т\ ]т -
- |3 ("nmy + a12mz 4 "ю) = "го - P"io- (71) При этом уравнение (67)
принимает вид
dZ = (anY + a22Z + a20)dt + ^[dY-(auY + a13Z + a10)df]. (72)
§ 9.4. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
577
Для определения р необходимо найти математическое ожида-ние т и
ковариационную матрицу К случайного вектора Q = = [У^ ... Yт Zx ... Zp\T
и ковариационную матрицу R ошибки Z - Z-Z. Для этого воспользуемся
выведенными в п. 6.1.6 уравнениями (6.20) и (6.22). Эти уравнения в нашем
случае имеют вид
/С = а/С 1 КаТ +c0vcl
m = am + a(s,
пг + р
2 (c0vcTr + C,vc5) mr +
(73)
где
а11 а12 021 а22.
Г = 1
а10 а20 .
т + р
+ 2 cr\cj(mrms + krs), (74)
Г, s= 1
Сг =
Cl г
С2г
(г = 0, 1, . . ., т + р).
Уравнения (73) и (74) с соответствующими начальными условиями определяют
все элементы mr, krs матрицы-столбца т и матрицы К (г, s= 1, • • т + р).
Уравнение для матрицы R вытекает из формулы (42):
R -ф Ra22
X,
т + р
+ 2 C2rVCTlsk
г, s= 1
т + р
+ 2 clrvcT2skrs
Г, S=1
m-rp \ / т + р \
R&12 + '^20 + 2 c2rmrJ V ^clo + 2 ) +
Г т + р \ ^ т + р \
а12Р + ( с10 + 2 clrmrj v ^0+ 2 clrmrj +
т + р ^
с2о + 2 c\rmr -f-
/¦ т+р \
+ ( с2о + 2 c2rmr ) v I ^
т + р
+ 2 ++clskrs, (75)
Г, s= 1
где х22 определяется последней формулой (68). Уравнение (75) представляет
собой матричное уравнение Риккати.
После нахождения mr, krs (г, s=l, ..., т + р) и R путем
интегрирования уравнений (73) -(75) оптимальный коэффициент р
в (72) определяется по формуле (70). М
