Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
которого определяется в силу второго уравнения (10) формулой
Заменив этим уравнением второе уравнение (10) и повторив все выкладки пп.
9.3.2-9.3.4, получим уравнения, определяющие коэффициенты уравнения
условно оптимального экстраполятора
(3) или (4). Приведем полученные таким путем результаты.
Условие некоррелированности ошибки с %ДК(5) дает формулу (18) для
оптимального значения Л|3, в которой
а х22 определяется второй формулой (52).
Условия несмещенности оценки и некоррелированности ошибки со случайным
вектором дают уравнения (15) и (24) ((22) в случае линейного
экстраполятора) для оптимальных а и у, в которых т0=Мф(г,+д, t -f Д),
*01=М (ф,+д-т0) !Т+М (Z-71t/)!§-T + X М (Z-AU)Y^
*=о у
+ M[{Z-AU) ф!+1-Лргуфлф!] (-^r + i1TPT-Jr) ?т +
a ти m2, хи, х21, х2 определяются второй и третьей формулами
(51), второй и третьей формулами (53) и формулой (54). Как и в (55), все
функции без указания аргументов в (60) представляют собой их значения в
момент t, а цч+А = (Zi+A, / + Д).
Для вычисления математических ожиданий в (59) и (60) необходимо в общем
случае знать совместное распределение величин
dZi+A- 9(Z<+A, t Д) dt ф (Z/+д, t Д) dWг (t -)- Д).
S - I
+ у М (Z-AU) <tr
(60)
§9.3. АВ ТОКОРРЕЛИРОБ АННАЯ ПОМЕХА
573
УТ, У?\ • • - . У?\ zi, Z*+A, Nt, Ut в каждый момент времени t. Чтобы
найти это распределение, напишем уравнение (5.41) для двумерной
характеристической функции g2 (Я4, . . ., Я^+4, р1( . . ., р4+4; ti, h)
случайного процесса [Г<0> (/)т Yn) (/)т. . . Y(s) (/)т Z (/)т X xN(t)r U
(/)т]т.Для этого достаточно подставить в (5.41) при п - 2 вместо a(Z, t)
и b(Z, t) соответствующие блочные матрицы Г ка>
pis)
ф4 + 1(К'°>, Z, Л/, t)
Ф(Z, t)
фо {N, t)
Lag(K', U, О + РпО", U, Оф, + 1(^0). 2, N, /) + YJ
О
о
о
о
4(2, t) О
L О
О
4i(K<0>, Z, N, t) о
4о (N, о Рн(К', и, /) Tpi (К(0), Z, N, t) _
где у'= [у"" т уш т y(5)TjT^ и соответственно заменить векторы Я4, Я2
блочными векторами [Я[ ... Я*+4]т, [pj ... pJ+4]T. В результате получим
уравнение
d§i (^1> ¦ • - I ^j+4> Mi> • • ¦> М"5+4> t2)/dt2 =
= М |г рТО + Фз+хЧФ+хТО. zu, Nu> t2) + ipI+2 ф (2<a, /2) +
+ грДзф0(-^2, /2) + ipI+4 |><а5 ТО ТО Ч) +
+ Pf,Tl(^2, ТО> 4)?s+i(^a>, ^<а, ТО, Ч) + 7*2] +
1 ( 5+1
+ 1 (И4 t2) | ехр i г ^ + Щ+1 Zu + ТОТО, +
S + 1
i№s+iU+ i S PlTO 4 + iPs+гТО + J"Ps+3^V 1г + гр1+4Д|
*=i
(61)
где для краткости через р обозначена матрица-столбец, состоящая из дву х
блоков
M'l Ф (^f2> ^2) 14+2,
14=^1 ТО'" ТО ТО• **)Т|4+1 + Фо(ТО* ТО 14+3 +
+ Ф1ТО, ТО- ТО- ТО^ТО- ТО- ТОРТО+4-
Начальное условие (5.42) для уравнения (61) имеет вид
ё2 (^1, • • • , 4> Hi, • • • 1 14+4- ^1" ^l) ~ ёг
ТО+ 14, • • • , ^,s+4+14 + 4> ^l)-
(62)
574 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Если некоторые компоненты вектора помехи N исключены с помощью формул
(46), то N в (61) следует понимать как вектор, составленный из оставшихся
компонент помехи.
Если У(1), . . ., Yis) в функциях ? и л заменяются их выражениями (46),
то для вычисления математических ожиданий в (59)
и (60) достаточно знать двумерное распределение процесса [У(0)(4Г Z (t)1
N (ty U (t) г]т. Чтобы получить уравнение для двумерной
характеристической функции этого процесса, следует положить в (61)Я2 = •
• • = ^,1 = (.Ц== • • • =14,1 = 0.
В практически важном частном случае, когда функции ф1; ? и т], а
следовательно, и ф,;1 и фу не зависят от Y = YW, для вычисления
математических ожиданий в (59) и (60) достаточно знать двумерное
распределение процесса [Z (/)т N (()г U (t)г]т. Уравнение для
характеристической функции этого процесса получается из (61), если
положить /ц = • . . = Я5+1 = рх = . . . = р5+1 = 0. Тогда, заменив ks+2,
-ks+3, ks+i, |т,+2, 14+з, 1-4+4 соответственно величинами Яг,
Я2, Я3, р!, р2, н3, получим
dg2(k 1, Я2, Я3, ръ р2, рз; 4, 4)/<?4 = М {гр!ф(Zu_, 4) +
+ Ф2Ф0 (Nfs, 4) + 1Рз (У<г. ^t,, 4) +
+ М(у4" uu> 4)t.+i(z/2. 4) + vt,] + x(|i; 4)}х
X exp {lk\Zti + + ik\Uu + i\i\Zu -f i\iJNu +
ip^fJ, (63)
где p-матрица-столбец, состоящая из двух блоков Ei = T(Z/2, 4)r 14,
И-2 = Фо(Уц, 4)TlE^r4i(Zt2, Nu, 4)r'l(>4'2, Uи, 4)ГРГ(4> •
а ^"=[cPi(z, N, t)T . . . фS(Z, N, 4Т]Г.
Уравнения (15), (18), (24) (или (22) в случае линейного фильтра), (56),
(61) и (62) (или (57), (63) и (62)) полностью и точно решают поставленную
в п. 9.1.4 задачу условно оптимальной экстраполяции в случае
автокоррелированной помехи в наблюдениях [69].
Изложенная в этом параграфе теория позволяет строить условно оптимальные
фильтры для одновременного оценивания текущего состояния и неизвестных
параметров системы и прогнозирования ее состояния на любое число заданных
интервалов времени А1}AN.
Заметим, что формулы (59) и (60) и уравнения (61) - (63) могут быть
получены из соответствующих формул и уравнений п. 9.2.6 заменой векторов
Y и Z в качестве аргументов функций ф, ф, Фх, фф, ? и т) соответствующими
блочными векторами Y' = •= [У(0) г У(1) т ... 7(s) t]thZ' = [ZtNт]т и
матриц фг, фф и ц соответствующими блочными матрицами [У41' г . . • Уы т
