Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения для 0 представляет собой полином второй степени относительно 0
и X, содержащий члены 0, 02, X и &Х с коэффициентами, зависящими от
других неизвестных функций времени Z, N, R12, R22, R23. Согласно основной
идее теории условно оптимальной фильтрации все эти величины следует
включить в подлежащие определению коэффициенты уравнения. Тогда, добавив
еще член с X (очевидно, это не может ухудшить качество фильтрации),
получим уравнение класса допустимых филотров
0 = оц(c) + a202-j-a3y + (Pi + Рг(c)) Х-\- у.
Формулы (18) и (52) с учетом того, что в данном случае <р2 (Z, 0,
/V, t) =
= - ZS- aN = aZ-ZS - аХ (при нахождении класса допустимых фильтров эта
функция ф2 играет роль функции ф! в уравнениях теории оптимальной
фильтрации), дают для оптимальных Pi и р2 уравнения
(Vi + V2) (Pl + ГП0001Р2) = *7*0111 *7*0120 + ** (*7*1001 *7*1010 +
*7*0110 *7*010l) "Г Vl>
(vi + v2) (*7*oooiPi + /т/ооогРг) =
= *7*0112--/7*0121 + *2 (/7*1002 *7*1011 + m0111 /7*0102) "I"
vl*7*0001>
где mijki^MXiZjQkQ1. Формулы (24), (53) -(55) дают для оптимальных ai, a2
и a3 уравнения
(/7*0002 /?*OOOl) 0*1 + (/7*0003 /7*0002*7*0001) °*2 + (*7*1001 -
/7*1000*T*000l) °*3 -
= Pi [ *7*0111 + *2*7*1001 *2/7*0101 ¦- (/7*0110 4" ***?*1000 ***7*010o)
*7*000l] =
+ P2 [*7*0112+ *2*7*100 2 - *2*7*0102 - (*?*0111+ <2*7*1001 - <2*7*010l)
m000l]> ( /7*0003 - /7*0001*7*0002) 0*1 + (3/7*0004 - 2/T*0ol3- 77*o002)
°*2 +
+ (3/7*1002-2/7*1011---/?*1000/7*0002) 0*3 = Pl [/7*0112 + **/7*1002-
***7*0102-
§9.3. АВТОКОРРЕЛИРОВАННЛЯ ПОМЕХА
571
- (шопо "bamiооо - атаюо) тооо2] + Рг [3 (шонз ~\~аг^1ооз - от0юз) -
- 2 (/и0122 + я^ю12 - я^онг) +(2vx- т0т - QWiooi + ^^oioi) ^ооог] +
"Ь 2 (vi -|- v2) [pi (/Поою - ^oooi) + Р1Р2 (2/Поои - З/Л0002) + Рг
(W0012 - 2/п0003)],
(^*1001 tf?l000m000l) а1+ (^1002 - ШхоОО^ОООз) а2 + (^2000 -¦ ОТ100о) Кз
=
= Pi [^що + й/Пгпоо - атиоо - (tn0no + fi^iooo-amoioo) Wiooo]"T
+ Р2 [т1111 + Я^2001-'twin01 (^0111 + am1001 timolol) Wioool-
Оптимальное значение у определяется в силу (15) и (51) формулой У = -
"1^0001 - сс2/л0002 - с'-зtniooo Pi ("оно ~Ь amiooo - aff!oioo) +
+ Р2 (^oin + o^iooi - timoioi)-
Уравнение (57), определяющее одномерную характеристическую функцию
процесса [Z (t) 0 (г) N (/) 0 0)Г> имеет вид
dgi (Aj, 7-2, 7.3, Х4; t)jdt^Ai I-(XiZ0- iXodN-{-
-f 77-4 [ах0 4-а9в2т-а3 (Z+jV)- (px-y (520) (Z0 + aAi) + y] -
- vi [T-i + (Pi + P20) 7-4]2/2 - v2 [7-3 -|- (Pi -j- p2(c)) 7.4]2/2}x
X ex p {t*7-iZ-{- iX20 -j- 1X3N -{- 1X4(c)J.
Решив это уравнение совместно с уравнениями, определяющими оптимальные a,
Р, у, найдем коэффициенты уравнения условно оптимального фильтра.
Пример 9. Совершенно так же находится в условиях предыдущего примера
условно оптимальный фильтр для одновременного оценивания состояния Z и
параметра 0 системы. Приведенные в предыдущем примере уравнения метода
нормальной аппроксимации для Z и 0 дают основание определить класс
допустимых фильтров уравнениями
Z = а.ц2.-\- ai20 + a13Z0 + a14Z-0 -t-ai5Z02 -(-ацУ -[- (Pn + P12Z +
P136) X ~r Уъ
0 -- oc2iZ-j- ct220 -f- a23Z0-}-a24Z20 -{- OC25Z02 -{-oc2gX -{- (P21Ф"
р2з(c)) У -|~y2.
Предоставляем читателю самостоятельно получить для этого случая
уравнения, определяющие оптимальные матрицы a, Р и вектор у.
9.3.6. Уравнения, определяющие условно оптимальный экстраполятор.
Решение поставленной в п. 9.1.4 задачи экстраполяции состояния системы
при автокоррелированной помехе в наблюдениях возможно только в том
случае, когда компоненты вектора состояния, входящие в уравнение
наблюдения, имеют с. к. производные более высокого порядка, чем
компоненты помехи, входящие в то же уравнение наблюдения, т. е. когда при
дифференцировании уравнения наблюдения появляется сначала белый шум,
входящий в уравнение формирующего фильтра помехи. Физически это значит,
что полезный сигнал в уравнении наблюдения более гладок, чем помеха.
Допустим, что белый шум, входящий в уравнение формирующего фильтра
помехи, появляется после s-кратного дифференцирования уравнения
наблюдения. Тогда первое уравнение (10) заменится уравнениями (50),
причем функция % в последнем уравнении (50) определяется формулой
Фх (Y, Z, N, t) = (Y, Z, N, ty Ф" (N, t), (58)
572 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
а функции ф2, . . ф5+1 по-прежнему определяются формулой (47)
и первой формулой (49). Уравнения (50) вместе со вторым и третьим
уравнением (10) образуют систему уравнений вида (7) с расширенным
вектором наблюдения у'= [K<°>TK(I>г. ..У'*)т]г вместо У и расширенным
вектором состояния Z' = [ZtjVt]t вместо Z. Порядок этой системы
уравнений, как правило, можно понизить путем исключения некоторых или
всех компонент помехи N с помощью уравнений (46).
После преобразования уравнения наблюдения задача условно оптимальной
экстраполяции решается совершенно так же, как и задача фильтрации.
Разница будет лишь в том, что Z будет представлять собой оценку будущего
вектора состояния системы Zt+A, А > 0, стохастический дифференциал
