Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
определения устойчивости следует, что для устойчивой линейной системы
этот функционал непрерывен. Поэтому на основании теоремы Рисса
У({)= ^ x(x)dxh{t, т),
где h (t, т) - функция ограниченной вариации переменной т при любом t, а
индекс т у знака дифференциала указывает, что интегрирование производится
по функции h (t, т), рассматриваемой как функция т при фиксированном t. В
задачах практики встречаются только такие системы, для которых h (t, т)
при любом t имеет производную по т, возможно, содержащую линейную
комбинацию 6-функций. Положив g (t, x) = dh(t, х)/дх, получаем (8).
Условие ограниченности вариации h (t, т) по т дает необходимое и
достаточное условие устойчивости системы (9). Если вариация h{t, х) не
ограничена, то система неустойчива.
Совершенно так же из теоремы Рисса об общем виде непрерывного линейного
функционала на пространстве непрерывных функций с непрерывными
производными до порядка N включительно следует формула (8) для случая N
раз непрерывно дифференцируемого входного сигнала, причем в этом случае g
(t, х) может содержать и линейную комбинацию производных 6-функций до
порядка N включительно. Необходимое и достаточное условие устойчивости
линейной системы (9) заменится условием
dx < оо.
Пример 6. Чтобы найти весовую функцию электрической цепи примера 3,
проинтегрируем последнее уравнение этого примера, считая, что входное
напряжение прикладывается в момент t0. Тогда получим при t > t0
32
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Сравнив эту формулу с (8) и приняв во внимание, что х(т)=^0 при т < t0,
находим
g(t, T)=ye-(,-fl'r 1 (/-X),
где 1 (s) - единичная ступенчатая функция, равная 1 при s > 0 и 0 при s <
0.
Пример 7. Для цепи примера 4, считая, что х(т)=^0 при т < t0, получаем
t
y(t)~e~tlT ^ ет,'гх (т) dx =
to
t t
= х (t) - jr е~</т \ ex'T x (x) dx-\^ j^S (t - т)- ф- e~(t~x)IT j x(x)
dx.
to to
Сравнив эту формулу с (8), находим
g(t, t) = S (t- т) - -Le-(-t-x)IT 1 (t - т).
Пример 8. Для колебательного контура примера 5
t
У(0=ш fT J e~^{t-x)/T sin 0)0 (/-X) х (т) dx,
to
где ш0 = У" !-?*/Т. Отсюда находим
S(i, т)= jL (г'-т)/Г sint0o^_T) 1 (/ -т). со0/
1.2.4. Весовая функция многомерной линейной системы. Рассмотрим
линейную систему с п входами и m выходами.
На основании принципа суперпозиции действие каждого входного сигнала на
многомерную линейную систему можно рассматривать отдельно, а затем
результаты действия отдельных входных сигналов на каждом выходе
просуммировать.
Для нахождения реакции на k-м выходе линейной системы на сигнал,
действующий на одном только h-м входе, можно рассматривать эту систему
как систему с одним входом и одним выходом. Тогда для вычисления реакции
на k-м выходе системы на любой сигнал, действующий на h-м входе, при
отсутствии сигналов на остальных входах, достаточно будет знать
соответствующую весовую функцию gk/! (t, т). Эта весовая функция
представляет собой реакцию на k-м выходе системы на единичный импульс,
действующий на h-м входе в момент т, при отсутствии сигналов на остальных
входах. Совокупность весовых функций gkh (i, т) (k-\, . . ., m\ h- 1, . .
., n), соответствующих всем входам и всем выходам, является исчерпывающей
характеристикой многомерной линейной системы.
Зная весовые функции многомерной линейной системы, соответствующие всем
входам и выходам, можно для вычисления ее
§ 1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
33
реакции на каждом выходе на сигнал, действующий только на каком-нибудь
одном входе, применить формулу (8). Суммируя полученные результаты для
каждого отдельного выхода по всем входам, найдем все выходные сигналы
рассматриваемой линейной системы, соответствующие одновременному действию
всех входных сигналов.
Таким образом, выходные сигналы yx(t), ..., ym(i) линейной системы с п
входами и т выходами выражаются через ее входные сигналы x1(t), ...,
xn(t) формулой
где х (t) = \хг (i) ... хп (0]т, у (t) = [уг (0 ... у,п (0]т - векторные
входной и выходной сигналы, представленные в виде матриц-столбцов .
Матричная функция g{t, т), определяемая формулой (10), называется весовой
функцией линейной системы с п входами и т выходами.
Из сказанного в п. 1.2.3 следует, что для устойчивости многомерной
линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все элементы матрицы g(t,
т) удовлетворяли условию (9):
Для физически возможной линейной системы согласно определению
Вводя матрицу
. Ч
~gl 1 т) gl2 (t, т) ... gi" (t, т)
?21 (^. т) g22{t, т) ...gtn{t,i)
(10)
Т) gm2(t, Т) ... gmn{t, Т)..
можно записать предыдущую формулу в виде
со
(П)
00
- 00
g(t, т) = 0 при т > t
(13)
и формула (11) принимает вид
(14)
где t0-момент начала работы системы.
34
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Ясно, что линейные системы примеров 6 - 8 физически возможны, поскольку
они представляют собой реальные электрические цепи. Поэтому они
удовлетворяют условию (13).
Пример 9. Если выходными сигналами колебательного контура при мера 5
считать напряжение на конденсаторе уt и ток в цепи у2, то к урав. нениям
