Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
02 l viWoo2 - ni0i2^r т0зз - а (/Пцг - тщоз- ТП022 -г гао1з) _
1 тп.
У. 22-(v4-j- V2)
Р-[Pi Рг]-
jn воз m00i_
где mijk = MX'ZjZn. Уравнения (15) и (24) в этом случае имеют вид
mooia3 -т тооз&& Нг Tftoo5a5 "Ьу =
= - шозо -j- Pi (ш0зо - Qtn\oo ~\~amno) т- Рг (tnозг - о/Лцг amoi2),
(Отгоо mioo) ai (тго2- ТП100ТП102) a2 "г (twioi - Tn100/7200i) gc3 -)-
4~(mio3- пгюо/пооз) ^"("(twios - ТП100ТЦ005) 065 =
= - тлмо + тыоТЯозо-!- Pr (mt3o- тщоо^озо) + Рг (rai32- тпюг^озо)-!-+ Pia
(m200 - /wiio~-m200-l- mx00m0i0) + P2Q (ТП202 - Щцг- тщооТИюг-ЬтлюгТЛою).
(Зш2о2-2m2ii - тщоо^иг) cii-)- (З/Л204- 2m213- ^хог) a2 +
+ (3тюз - 2/Лц2 - ffiioa^ooi) a3 + (3ffZio5 - 2m114 - /Люг^ооз) (r)4 +
+ (3/Пю7-2m416-/71x02^005) a5+2 (/Пхог-тлш) У = w*is2-2m44i-)-
+ тюгТПозо - 2o (m2ii - ^202¦- ^121 + ^112) + Pi (mi32 - ^югтозо) +
-{- Ра (ffll34-/nioi^oeo)-!- Р1Я (тл202- 77*112- /П100П1102+ Щ102ТП010)
"Ь + P2a (m204 t^iii - Tnioo/wioi-l-mio4Tnoio) + vi [tt7oo2 + 2 (РхТПцц
+ РгШюз)]-!-
+ (Vi + v2) [p4 (2m0n-3m0o2) + P2 (2m113-3m004) + Pi (muo-3m10x) +
+ 2P1P2 (шц2-3mxos) + P2 (tnui-З/Пхов).
§ 9.3. АВТОКОРРЕЛИРОВАННАЯ ПОМЕХА
569
(2/n10i - тцо - лгюо/Лоо]) (r)i + (2/Люз - /Инг - ^102^001) +
+ (2/Л002 Л*011 m00l) (r)3 (2Л!оо4 от013 лг001 Л2ооз) (r)4 +
+ (2/п0об Л&015 -• лг0о1Л1оо5) а5 + (лг001 - /Лом) 7 =
= - m03i + "озоном + Pi (л2оз1 - /ЛозоШоох) +
+ р2 (л^озз Л*030т00з) + Plfl (т101 /71о11 Л*100Л*001 + /71olOmool) +
+ Рга (л!юз - лг01з - /71юотооз + лг0юЛ10оз)> (4/Люз - З/Лпг - лгюоЛг0оз)
(r)i + (4/Лю5 - З/71114 - /Пюг/Лооз) аг +
+ (4/п0о4 - 3/л01з - лг0о1лгооз) (r)з + (4/Т10об - 3/п015 - т\оз) ai +
+ (4/^008 - Зт017 - ШоозШооь) а5 + 3 (т003 - /Л012) 7 =
= 2/п0зз - З/Л042 + /Лозо/Лооз - За (шцг - /Пюз - /Л022 + т01з) +
+ Pi (m033-----О1о30т00з) + Р2 (oio35 ^030^005) +
+ PlO (/П10З---/71о13--^100^003 +Л2оЮтООз) + р2а (/Л 105------лг015
01100^005+^1010^005) +
+ 3vi (P1OI002 + Р2Ю004) +3 (vi + v2)[P2 (oIqh - 2/Лоог) +
+ 2P1P2 (т01э - 2/л0о4) + P| (moi5-2т006)^
(6/71ю5 6/71ц4 /71l00Ol005) al + (6/Tll07 5/Лцб ^Ю2т005) (r)2 +
+ (6/71006--5/71о15----/7l00lOl005) а3 + (6/Т1о08 -'5/71017 -'
/71оОЗ/71о05) а4 +
+ (6/Лоо, ю - 5/По1" - oio06) "5 + 5 (т005 - тон) 7 =
= 4/71о35 - 5/?1о44+ /710зо/Т1о05 - 5а (гПщ - 01105- 01024 + т01ь) +
+ Pi (/Т1о35 /71030т005) + Рг (/Т1о37 /Т1оЗо01о07) +
+ PlO (/?llo5 /71015 /Tll00Ol005 + тою/Т1о05) +
+ РгЯ (/71107 - /По 17 /71l00m007+ OI0I0OI007) +
+ 5vi (Р1/Л004 + р2тооб) +5 (Vi + V2) [^pj (2/Л013 -З/П004) +
+ 2plp2 (2/71015 З/Пооб) + Рз (2/71о17 -З/Лоов)] .
Уравнение (57), определяющее характеристическую функцию вектора [Z N Z]T,
имеет вид
dgi(Xu ^2. Я,3; t)/dt = M {- ikiZ3 - i+2a/V +
+ i+з l(r)i (^ + N) + аг (2+ iV) Z2 + аз^+ а4Z3 + a5Z5 + 7] -
- [v+2 + V2^2 + ("Vi + v2) (Pi+ Рг-Z2)2 А,з]/2 -
- (Pi + p2^2) (^1X1 + v27,2) Я3} exp {IXiZ-^-iX^N + iX3Z}.
Решив это уравнение совместно с уравнениями, определяющими а = =
[aia2a3a4a5l, Р = (Р1Р2] и 7, найдем коэффициенты уравнения условно
оптимального фильтра. При этом следует иметь в виду, что необходимые для
решения уравнений, определяющих оптимальные a, Р, 7, моменты mijh -
MX^ZJZ^ при i = 0, 1, 2 выражаются через моменты 0Lpqr = MZP№Zr вектора
[Z N Z]T формулами
mo/ft - °v'oft> mi/ft ~ a/ift + a/ +1,0, ft"
/7l2/ft = a/2ft + 2tX/ + ii 1, ft + a/+ 2, 0, ft•
Пример 8. Обобщая задачу примера 8.3, найдем условно оптимальный фильтр
для оценивания неизвестного параметра 0 в уравнении системы
Z = - 0Z+1+
по результатам наблюдения состояния Z системы с аддитивной помехой,
представляющей собой независимую от Z нормально распределенную
стационарную случайную функцию N (t) с ковариационной функцией kn (т) = -
Ое~а Iх I.
570 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
В данном случае, взяв формирующий фильтр помехи N (t) из примера
5.2, напишем уравнения (9) в виде
Y = X = Z+N, Z = -Z0 + V+ 0 = 0, N = -aN + V2,
где V7! и V2- независимые нормально распределенные белые шумы, причем
интенсивность белого шума V2 согласно результатам примера 5.2 равна v2 =
2 Da.
Чтобы найти подходящий класс допустимых фильтров, приведем задачу
формально к случаю белого шума в наблюдениях и применим метод нормальной
аппроксимации п. 8.1.3. Дифференцируя уравнение наблюдения, заменим его
уравнением
X = - Z0 - aN + V7! + V2.
Это уравнение вместе с уравнениями, определяющими расширенный вектор
состояния Z' = [Z 0 jV]t, образует систему уравнений вида (8.1) с ф (х,
г, 0, п, i) = l-z9 0 -ап]т, ф! (х, г, 0, п, t) = -z0 - an.
ф (х, z, 0, п, t) =
1 0 0 0 0 1
J , iM*. 0 = 11 1], v=j^ ^
для которой справедливы уравнения теории оптимальной фильтрации § 7.2.
Уравнения для Z и 0, полученные методом нормальной аппроксимации п.
8.1.3, имеют в данном случае вид
Z = - ZS - R12 - (Vi + V2) -1(Z7?i2+07?ii+fl+i3)(.y - ZS - R^2 - о
X),
0 = - (тЦ + ^г) -1 (-?-^22 + 0Rl2 Ч- **^2з) {X - Rl2 **У),
где Rij (*, /= 1, 2, 3) представляют собой элементы условной
ковариационной матрицы вектора [Z 0 Л']т относительно X*t . Правая часть
