Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
и
[о... о Ф1 фтфг ф^рт
соответственно. В результате получим для одномерной характеристической
функции ?й(Ад, ..., Я,+4; t) процесса [У'<0) (Т
(t)r . . . (7)т Z (t)T N (t)T U (ОТ уравнение
dgiiK, K+i, t)/dt -
= М 11 s ЧУШ -f t/vj+1cri+1 -f 1Т2Ф + т+зфо -г
I k- 1
- Т+4 (v.l + РпФ*ь 1 + Т)тХ (ФТЧы + ФТ+2 -г
) ( 5
-г фоТ з -г Ф1*1тРТ г Z Of exp 2 4+iY(tm)Y-
) ( k=0
-г + T+sN -f- i^-s+4U j, (56)
где, как и в (55), все функции без указания аргументов пони" маются как
их значения в момент t.
Начальным значением характеристической функции gi(T ... ...,Х5+4; О ПРИ
t = t0 на основании (5.39) служит характери-
стическая функция начальных значений векторов F(0>, Yn), ...
. . ., Z, Лг, U. При этом начальное распределение U следует задавать так,
чтобы при t=t0 были выполнены условия несмещенности оценки и
некоррелированности ошибки с ?.
Уравнение (56), конечно, может быть выведено из общего уравнения (31)
путем замены Y расширенным вектором Y' = = [у""туц>г . . . услт^т^ у
расширенным вектором Z' = [ZxyVT]T> Ф> Ф. Фи Ф1. ф соответствующими
блочными матрицами [фтфо]т>
§9.3. АВТОКОРРЕЛИРОВЛННАЯ ПОМЕХА
567
[фтфо]г. [У(1)с . . . К(5)г ф!+1] г, [0 ... О гй г, [0 ... О г)] и
векторов К, 2у к3 векторами [?"[ . . . ^I+1jT, [^1+2^1+з]т, \н-4
соответственно.
Если некоторые компоненты помехи N исключены с помощью уравнений (46), то
эти компоненты помехи должны быть заменены в ф, ф, -фг в (51) - (56) их
выражениями через У(0>, К11', . • . ..., Уы, а # в (56) следует понимать
как вектор, составленный из оставшихся компонент помехи.
Однако можно поступить и наоборот, исключить из (51) - (55) Y(v, ...,
Y(s) с помощью уравнений (46). В этом случае для вычисления
математических ожиданий в (24), (51) - (55) достаточно знать совместное
распределение векторов Yw, Z, N и U в каждый момент t. Характеристическая
функция этого распределения определяется уравнением (56) при к2 - . . .
=л5+1 -0.
В задачах практики функция срг в первом уравнении (9) обычно не зависит
от Y = У(0), функции ф и ф во втором уравнении (9) не зависят от Y и N, а
функции ф0 и ф0 в третьем уравнении (9) не зависят от Y и Z. В этом
случае функции с и г) в (3) или (4) обычно берутся не зависящими от Y, и
для определения всех математических ожиданий в (24) и (51) - (55)
достаточно знать совместное распределение векторов Z, N и U в каждый
момент t. Чтобы получить уравнение для характеристической функции g"i(^i,
Я2, ^3; t) этого распределения, достаточно положить в (56) А,1==: . . .
=Х5+1 = 0 и переименовать векторы ^5+2, л5+3> Zs+i в Я-а, к3
соответственно. Тогда получим уравнение
dgi (?-!, У, l3; t)/dt = Л4 {г^ф + г'л]ф0 + ikT3 (а? + PiypJ+1 -r V) У
+ X (фт^1 + VoK + Ф1т1тРт^з; 0} ехР UKZ + -Г ikaU}. (57)
Уравнения (15), (18), (24) и (56) (или (57)) полностью и точно решают
задачу нахождения условно оптимального фильтра при автокоррелированной
помехе в наблюдениях, поставленную в п. 9.1.4 [69].
Для решения уравнения (56) или (57) совместно с (15), (18) и (24) (или
(22)) можно применить любой из приближенных методов гл. 6.
В частном случае, когда класс допустимых фильтров определяется уравнением
(3), A=I, U = Z, и во всех формулах, определяющих условно оптимальный
фильтр, следует заменить AU и U величиной Z.
Все сказанное в конце п. 9.2.5 о нахождении коэффициентов уравнения
условно оптимального фильтра, остающихся неопределенными после расчета
изложенным методом, о практическом применении фильтра и о возможности
оценивать только часть компонент вектора состояния системы, в частности
только ее параметры, полностью относится и к только что полученным
уравнениям для случая автокоррелированной помехи в наблюдениях.
568 гл- 9- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Пример 7. В задаче примера 8.2,
Y=X = Z-{-N, Z = -Z3 + V1, N = - aN + Vi,
где Л'-стационарная помеха с показательной ковариационной функцией kn{x)
- De~aIх I, a Vi и V2- независимые нормально распределенные белые шумы,
возьмем за основу для построения класса допустимых фильтров уравнение для
Z, ^полученное в примере 8.2 методом ^нормальной аппроксимации:
Z = - Z (Z2 - 37?) -j- (Vp -j- т'г)_1 [vi -~г °7? - 37? (Z2 -)- 7?)] [X -
j- аХ - aZ -|-
+ Z(Z2 + 37?)].
Правая часть этого уравнения представляет собой полином относительно X, Z
и X, содержащий члены X, XZ2, Z, Z3, Z6, X и XZ2. Заменив коэффициенты
при этих величинах подлежащими оптимизации функциями времени ОЦ, а2,
а3, а4, аь, Рх и р2 и вводя свободный член у, также подлежащий
оптимизации, получим уравнение допустимых фильтров в виде
i = а3 X + a2XZ2 -f a3Z + a4Z3 + a6Z5 + (p4 + p2Z2) X + y.
Таким образом, в данном случае
Ф (г, t)~ - г3, ф0 (", /) = - ап, ф4 (г, п, 7) = г4-л, ф2 (г, п, t)=-г3 -
ап, ф(г, 7) = ф0(тг, 0 = 1> % (2> п> 0 = 11 1]>
v представляет собой диагональную матрицу с элементами v4, v2,
\{х, г, t) - [xxz1 z z3 2S]T, г) (х, г, /) = [1 z2]T.
Формулы (52) и (15) после исключения помехи из выражения функции ф2 дают
х ___ I V1 т010~Гт031-----а (/и110 /ИЮ1 ТЛ020 + Щ011)
