Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ф1 = (ЭФx/dZx) % + (Эфi/Э NД лроэ, cp's = Zs + х, i|)s = 0 при s = r
< I,
<pos=Wi + 1, 4)os = 0 при s=l<r.
564 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Компоненты помехи АД, Ns могут быть исключены из уравнений си-
стемы с помощью уравнений (46), которые последовательно дают
Л'^ФГ1)^0-, Х(1), О,
/ р -р \
¦Vp + l=l K(p + 1) - (ppt - фРг/ф! -¦ 2 ФЦт2Р-1Т2- 2] (fin^p-i+2 ] ф1и,
\ 1=1 1=2 X
(р=1, s-1), ф(г1 = %/521, (fin^dcpi/dNi (t=l, ..., s-1).
Точно так же, заменив первое уравнение (10) уравнениями
(50), приведем уравнения (10) в задаче экстраполяции к уравнениям вида
(7) с расширенным вектором состояния Z' = [ZTiVT]T вместо Z и расширенным
наблюдаемым вектором Y' = [у""т учит _ _ _
. . . ZU)T]T вместо Y.
9.3.2. Определение коэффициентов уравнения условно оптимального фильтра.
Совершенно так же, как в п. 9.2.1, теория линейной регрессии дает для
определения оптимальных сс, fi и у в (4) условие несмещенности оценки Z
(14) и условия некоррелированности ошибки со случайными векторами \tAt и
трДУ(5)1
М (AUt+At-Zt+bt) I] = 0, М (AUu&t -Z,+&() AY^ гЦ = 0,
где % = I {Yf, Yf, ..., Yf, Uu t), r,t = r, {Yf, Yf, . . ., Yf, Ut, t).
Из условия несмещенности оценки вытекает уравнение (15), в котором
m0 = M<pQT, Zt> Nt, t), mi = M\{Yf\ Г)1', ..., Yf, Ut, t), m2 = Mt[ {Yf,
Yf, ..., Yf, Ut, t)ys+1{Yf, Zt, Nt, t). -(51)
Из условия некоррелированности ошибки со случайным вектором грДУы
совершенно так же, как в п. 9.2.1, выводится формула (18) для
оптимального Л|3, в которой
x02 = M[{Zt-AUt)ys+1{Yf, Zt, Nt, 0T + (iM>I)0T, Zt, Nt, 0], Щ (Yf, Yf, •
• •, Yf, Ut, t) (ф^ф!) {Yf, Zt, Nt, t) x
X t] {Yf, Yf, ..., Yf, Ut, t)\ (52)
Из условия некоррелированности ошибки со случайным вектором \tAt при At -
* 0 вытекает условие (20), которое должно быть выполнено при всех t^t0.
Из этого условия совершенно так же, как и в § 9.2, выводится второе
уравнение, связывающее оптимальные а и у. Сначала выведем это уравнение
для случая линейного фильтра (4).
9.3.3. Оптимальные коэффициенты уравнения линейного фильтра. В случае
линейного фильтра функция 1 в уравнении (4) линейна,
1{уш, Уп>, y{s), u, t) = [y^y^ ... у^игу,
§9 3. АВТОКОРРЕЛИРОВАННАЯ ПОМЕХА
565
а т] представляет собой единичную матрицу порядка т, т| (уш, У11\ •••,
y{s), и, t) = I. При этом из (20) вытекает s - 2 условий
М (AU -Z)Y'k)T = 0 (k = 0, 1, s), M{AU-Z)UT = 0.
Вычислив стохастические дифференциалы величин (AU-Z)Y[!!)T (fe = 0, 1, .
. ., s) и {AU-Z)UT по формуле Ито (3.64) с учетом уравнений (50) и формул
(15) и (18), получим систему линейных дифференциальных уравнений для М
(AU -Z)Y{k)1 (k - Q, 1, ...
. . ., s) и М {AU - Z) U'r:
dM(AU-Z) [y<o)-ryu)t . . . y^[Ut] =
= {AaM (t - mx) с1 + Л|ЗЛ4 (cpJ+1 - m2) ?r - M (tf-m0) t'} dt +
-f {M{AU-Z) [r<1,r . . . H№r0 0]T--rM{AU-Z) (Y<°>T K(1)T ... Y^UT][0 ...
0 a r]}dt.
Для выполнения условия (20) при всех t^t0 необходимо, чтобы эта система
была однородной и условие (20) было выполнено в начальный момент t0.
Условие однородности уравнения дает для оптимального Аа формулу (22), где
"и = М [ф (Yf, Zt, Nt, t)-m0] I (Yf, У)1', . . ., Yf, U" t)\
"и = M [I (Yf, Yf, ..., Yf, Ut, t) - m,] I (Yf, Yf Yf, Ut, t)\
(53)
^ = M[c9s+1{Yf\Zt,Nu t)-/п.,] I {Yf \ Yf, ...,Yf, Ut, tf.
Таким образом, условие (20) в случае линейного фильтра будет выполнено
при всех t^t0 тогда и только тогда, когда оно выполнено в начальный
момент t0, и а при всех t^te определяется формулами (22) и (53).
9.3.4. Оптимальные коэффициенты уравнения нелинейного фильтра.
Приравняв нулю дифференциал dM{AU-Z)f, получаем уравнение (24), в котором
x'tl = М[ т, (Yf, Yf, ..., Yf, Ut, t) cpJ+1 (Yf, Zt, Nt, /)-m2] ><
xl(Yf, У)1', ..., Yf, Ut, t)\ (54)
Ko1 = M(ff-m0)lI-YM(Z-AU)-^-N
-j- ? M (Z - AU) Y" + (tm) ^ + M{(Z-AU) фI+1 +
k= 1
+ флпй-(-^т + т1гРг ^т +
+ym ^Au) {tr {^r + 2^т + '
+ tr ¦- J j iT, (55)
566 ГЛ. В. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
где, как и в п. 9.2.3, все функции без указания аргументов представляют
собой их значения в момент t, например, ? = = ?(Y?\ Yf\ .... УГ, Uи ().
Из (24), (54), (55) и (53) при ?,(уш, ут, . ... i/s), и, t) -= [г/(0,т
у{1) г - • - y{s) т пт]г, г| (//(0>, у{1\ i/s), и, /) = / следует, что
'л'г1--л.г1, i = x01, и уравнение (24) дает формулу (22).
Само собой разумеется, формулы (54) и (55) можно получить из (25) и (26),
если заменить Y составным вектором Y' = [У(0)т F(1)T . . . F(J)T]r, a q4,
ф4 и т|- блочными матрицами qq = [F(1,r . . .
• ¦ • Yis)T г, фд = [0 . . . О ф!]т и г)' = [0 ... О г)].
9.3.5. Уравнения, определяющие условно оптимальный фильтр. Для
определения математических ожиданий в (51) - (55) и (24) достаточно знать
совместное одномерное распределение процессов F(0) (t), F(1)(0> •••, У<5)
(0> ^(0> N (t) и U (/). Одномерная характеристическая функция этого
распределения определяется уравнением (5.38), в котором a(z, t) и b(z, t)
должны быть заменены блочными матричными функциями
[Г<1)Т , _ _ у<" т фт+1фТ фт |тат + фт+1Т,трт _L т
