Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
- ИIZ, 0/г, t)\Yl\ = b{Y, 0fe, t)Zh + b"(Yu 0А, t)
и уравнения (7.27) принимают вид
dqk(t) = {frkb(Y, 0А, ty + b0(Y, %, ty-
- 2 qh{t)[Zlb{Y, 0A, ty + b0(Y, eA, 0T]Uft(OX ft=l J
X (усФ^-ДУ, t)^dY-^qh(t)[b(Y, 0A, /)2А + г?"(У, 0A, /)]*}
(fe=l,...,W). (44)
Заменив здесь оптимальные оценки Zt, ZN вектора состояния системы для
разных классов сигналов соответствующими условно оптимальными оценками и
добавив уравнения типа (1) или (2), определяющие эти оценки, Zu = AUk,
dUk^akl(Y, Uk, 0А, /)Л + РАт](Г, Uk, 0Af t)dY + ykdt
(k=l,...,N), (45)
получим замкнутую систему уравнений для Zlt . . ., ZN, qlt . . ., qv.
Таким образом, при линейной относительно Z функции Фх в первом уравнении
(5) и не зависящей от Z функции фх теория условно оптимальной фильтрации
дает возможность решать задачи распознавания сигналов различных классов
при любых функциях ф и ф во втором уравнении (5).
§ 9.3. Фильтрация и экстраполяция при автокоррелированной помехе в
наблюдениях
9.3.1. Преобразование уравнений. При решении задач теории условно
оптимальной фильтрации и экстраполяции при автокор-релпрозанной помехе в
наблюдениях ограничимся для простоты случаем винеровских процессов W (t),
W1 (/) и W2(t) в уравнениях (S) и (10).
Согласно сказанному в п. 9.1.4 для приведения задачи фильтрации к случаю
белого шума в наблюдениях будем дифференцировать уравнение наблюдения до
появления белого шума (члена с dW) в правой части. Дифференцировать
следует, конечно, по формуле Ито (3.64).
562 гл- 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ и ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
> Дифференцируя первое уравнение (9) по формуле Ито (3.64), получаем,
опуская для краткости аргументы функций,
dY = [ 4>и + фТ/Pi + Ф12Ф + ф!лФо + j Фб ^v?T j dt +
+ (ф1гФТ + Ч>1Ло) dW,
где, как обычно, q>lt =< dcpjdt, ср1у = (д/dY) cpj, гр1г = (d/dZ) q>J,
cpln = = (d/dN) ф1, матрица Ф" определяется формулой Тг = [0 фт ф^]т, а
Фр 4VFT согласно обозначению (3.63) п. 3.5.2 представляет собой матрицу-
столбец mx 1, элементами которой служат следы произведений матриц вторых
производных соответствующих компонент векторной функции ф! по всем
компонентам векторов У, Z, N и матрицы ?vTfT. Если ф^ф + Ф1"ф0 Ф 0, то
s=l и полученное уравнение представляет собой стохастическое
дифференциальное уравнение, определяющее процесс У (t). Если же фТгФ +
ФиФо -0> т0 полученное уравнение представляет собой обыкновенное
дифференциальное уравнение. В этом случае дифференцирование надо
продолжать.
Предположив, что отличное от нуля слагаемое с dW появляется только после
s-кратного дифференцирования первого уравнения (9)*), и положив У<0) = У,
yift+1) ^=dYm/dt (k - 0, 1, ... ..., s-1), будем иметь
У"+1' = <рк+1(У1", У, t) (* = 0, 1, s-1), (46)
где функции ф2, •••, ф5 определяются рекуррентной формулой
ФУ+ДУ', 2, N, /) =
~4:kt(Y, Z, N, t) -УЧ'ку (У" Z, N, ty^y, У, N, t)-\-+ Ф** {Y, z, N, 0T Ф
(У, 2, N, t) + ф*" (У, Z, N, ty ф0 (У, Z, N, t) +
+ ±(Фк: 4fv4fT) (У, Z, N, t) (k=\, ..., s-1). (47)
В этой формуле Фк\ - mx 1-матрица, элементами которой
служат следы произведений матриц вторых производных соответствующих
компонент векторной функции ц>к по всем компонентам векторов У, Z, N и
матрицы 4rv4fT. Дифференцирование последнего уравнения (46),
соответствующего k = s- 1, дает
^У'*" = ф,+1(У(0', Z, N, /)сЙ + фДУ'°', Z, N, t)dW, (48)
*) Так как первое уравнение (9) не может содержать меньше m неза-
висимых компонент помехи, то это может быть только при h^sm.
§9 3. ABTOKOPPEЛИРОВАН МАЯ ПОМЕХА
563
где
ф*+1 [У, z. л'. О = (У, z, N> 0 + ф*у (У, z> N> 0Т Фх {У,z, N, t) +
+ <psz (Г, Z, N, t)r ф (Y, Z, N, t) + (Y, Z, N, ty Фо (Y, Z, N, t) +
+ 1(Ф,: WFr)(r, Z, N, t),
гМГ, 2, N, t) =
- Ф"г(У, Z, N, От-ф(К, Z,N,t) + <psn(Y, z, N, ty%(Y,Z, N, t).
(49)
Таким образом, в результате s-кратного дифференцирования уравнения
наблюдения первое уравнение (9) заменяется уравнениями (46) и
стохастическим уравнением (48). Эти уравнения можно переписать в виде
ауш = r<*+i)^ (k = 0, 1, - s - 1),
dYis) - (pa+1 (У<0), Z, N, t)dt + ^i(YM, Z, N, t)dW. ^ (50)
Уравнения (50) вместе со вторым и третьим уравнениями (9^ с Y = У(0)
представляют собой систему уравнений вида (5) с расширенным вектором
состояния Z' = [ZT./VT]T вместо Z и расширенным наблюдаемым вектором Y' =
[У(0,т учит ... уснтр вмесхо Y. Порядок этой системы уравнений, как
правило, можно понизить, исключив^ некоторые или все компоненты вектора
помехи N с помощью уравнений (46).
Пр и м е р 6. Для уравнений вида (9)
dY = <pi(Y, Zx, Ni, t) dt (Y-скалярная величина),
dZk = Zk + 1dt (6=1, ..., /-1),
dZk = ф/г (Y, Z, N, t) dt + 4>'; (Y, Z, /V, t) dW (k = l, p),
dNk = Nk + idt (6=1, r-1),
dNk = (f9k(Y, Z, /V, t)dt + %k(Y, Z, /V, t) dW (6 = r, h),
где Zx, ..., Zp, Nx, ..., Nb - компоненты векторов Z и N, s = min (/, r)e
и формулы (47) и (49) дают
к
<РА'л1 = Ф;гН-фАг/ф1+ 2 K<%/dZ1)ZA_I- + 2-Kd(p//d''V1) Nk-i + d
i= 1
(6=1, ..., s-1),
Ф5 A1 = ф5( "Г ф5!/ф1 "Г (<Эф1 IdZx) Cfs 4- (Эф:/ЭЛ/х) cpos-г-
S
+ 2 [(аФtldzi) Zs.i + 2+(d(fi/dNx)Ns^i + i\, 1=2
