Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Изложенная теория условно оптимального оценивания и экстраполяции
случайных процессов дает возможность строить фильтры для одновременного
оценивания состояния и параметров системы и экстраполяции ее состояния на
несколько различных интервалов времени в натуральном масштабе времени.
Все сложные
§ 9 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 559
расчеты, необходимые для проектирования таких фильтров, не опираются на
результаты наблюдения и могут быть выполнены по априорным данным в
процессе проектирования. Практическое применение таких фильтров сводится
к одновременному интегрированию уравнений (1) или (2) для оценок текущего
и будущих состояний системы.
Пр и мер 5. Найти условно оптимальный экстраполятор для прогнозирования
процесса, определяемого уравнением
Z=(a + bt) Z3 + ZV\,
на время Д > 0 по результатам его наблюдения с аддитивной помехой,
представляющей собой белый шум V2, независимый от Vx. Белые шумы Vx и V-x
считать нормально распределенными. Класс допустимых фильтров для
экстраполяции определяется уравнением
Z = axZ3 + a2Z -j- (IX -ф- у.
Уравнение наблюдения в данном случае имеет вид Y=X = Z-\-V2. Формулы (18)
и (34) дают у.02 = т110 - т101, x22 = v2 и {1 = тд1 (тпо - т101), где
mrS:l = MZtZt+&Zt. После этого уравнения (15) и (24) в силу (36) и (38)
принимают вид
moosai 4~ ^ooia2 4~ У ~ (а 4~ bt -р ЬА) т0зо.
(4/л0ое- 3/П15 - тооз) "1 + (4m0o4 - 3m0i3 - /Пооз/Kooi) сб2-р3 (/Лооз -
то1г) У -
= {a-\-bt -~ЬА) (отозз - тпмт00ъ) + Р (З/гацг - 4/Люз 4~ /Щоотооз ¦-
ТгР/^оог)" (2/п004 - /т/из - moo3mooi) ai + (2/Поо2 - Ион + тooi) C62-p
(tnooi - /Иого) У =
= (a -j- bt 4~ ЬА) (т031 - /козоr/iooi) 4" Р (тио -2/Лю1 4~ //Zioo/T/ooi
- ХгР)-
Уравнения (33) и (41) имеют в этом случае вид dgx (лх, К2; t)/dt - М {(/-
! (a-f bt) Z3 -ф Д2 (axZ3 + a2Z4-pZ -f у) -
- yxZ2}\!2 - v2P2A.|/2)} exp {t^xZ + ih2Z},
dg2(K K, M-i, t, s)/ds =
= M {iii1(a + bs)ZI+i^2(alsZ3sJr a2sZs+PsZs + ys)-
- VjZfpi/2 - v2Pfpi/2} exp + +
Решив эти уравнения совместно с уравнениями для а, р, у, найдем
оптимальные а, р, у, определяющие оптимальный экстраполятор. Для этой
цели надо сначала решить задачу фильтрации, пользуясь уравнением для gx и
уравнениями для а, р, у с заменой mrsa величинами mr+Sz0ia. Подставив
найденные таким путем а, р, у в уравнение для g2, можем решить это
уравнение относительно g.2 и, таким образом, найти g2 в первом
приближении. После этого можно определить коэффициенты уравнений для а,
р, у в первом приближении. В результате эти уравнения определят а, р, у
во втором приближении. Решив уравнения для gi и g2 с этими а, Р, у,
найдем gx и g2 во втором приближении, и так далее. Уравнения для gx и g2
можно решить на каждом шаге любым из приближенных методов гл. 6.
560 гл- 9- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
9.2.7. Формула для производной ковариационной матрицы
ошибки. Из общей формулы (6.13) для производной по времени ковариационной
матрицы значения случайного процесса, имеющего стохастический
дифференциал, можно вывести формулу для производной по времени
ковариационной матрицы ошибки условно оптимального фильтра.
> Вычитая из уравнения (2), умноженного слева на матрицу А, второе
уравнение (5), находим стохастический дифференциал ошибки фильтрации Z =
Z- Z:
dZ = (Аа% -f- ЛРцф! + Ау - ф) dt -j- (ЛРцф! - ф) dW.
Подставив отсюда выражения коэффициентов при dt и dW, т. е. матриц а и b
в (6.13), получим
R = (MZl1 ат + MZф}г] грг + MZyT) Ат -
- MZфт -J- A (aM\Zl -рР/Иг)фjZT +y/VIZT) -
- McpZT А1 (ЛРрф! - ф) у(ф!Г]т|ЗтЛт - фт).
Эта формула справедлива для любого допустимого фильтра. Для условно
оптимального фильтра выполняются условие несмещенности оценки (14) и
условие некоррелированности ошибки со случайным вектором Е (20),
вследствие чего MZ - MZ - MZ - 0, MZ?,r = М (Z-Z)|r = 0. Кроме того, в
силу формул (18) и (19)
MZylnт - УИфгф^гД -j- /1рЛ11']ф1\'ф(г')т -
= М (Z - Z) фИД - Л4ф\'ф)т] Г -j- ЛрЛДф^-фДД =
= - и02-1- Лрх.=--= 0.
Поэтому для условно оптимального фильтра формула для . hoik;'-,одной
ковариационной матрицы ошибки принимает вид
R = M\(Zt-Zt) ф (Yt, Zt, /)г + ф(К^, Zt, t)(Zj-ZJ) -
- A$r\(Yu Uu t)A>1{Yu Zu /)v(/)ф1(K^,Z^, tyv^Yt, Ut, /)Т|8ГЛ • +
+ ф(Уф, Zt, t)v{t)^{Yb Z" /)т]. -4 (42)
Совершенно так же выводится формула для производной по времени
ковариационной матрицы ошибки условно оптимального экстраполятора
? = M[(Zt+A-Zt)T(Z,+A> t + А)т + ф (Zf+A, / + A)(Z)+A-Zp-
- ДРл (Yu и и t) фх (Yt, Zt, t) v2 (/) ф, (Yt, Zt, ty r, (Yt, Uu ty |ДД r
+
+ Ф(-2у + д, t A~ Д) vi (t + Д) Ф (Zt+A, ^ + A)T]- (43)
9.2.8. Применение условно оптимальной фильтрации к задачам распознавания.
Теорию условно оптимальной фильтрации можно применить для решения задачи
распознавания сигналов п. 7.2.11
§ 9.3. ЛВТОКОРРЕЛИРОВ АННАЯ ПОМЕХА
061
в случае, когда функция qy в первом уравнении (5) линейна относительно
вектора состояния Z,
Ч>ЛУ, И Э, t) = b (у, 0, t)z + b0(y, 0, t),
а функция не зависит от Z. В этом случае
