Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
имеет в данном случае вид
^2, V, t)ldt = M{-iXjZ(c)iX3 (a(c)-(-pZ-J-y) -
- Vikl/2 - v2P2Ai/2} exp {iXiZ-t-/X20 - 7A30}.
Решив это уравнение при а, Р, у, определяемых полученными формулами,
любым приближенным методом гл. 6, найдем оптимальные коэффициенты а, Р, у
и совместное распределение Z, 0, (c), с помощью которого можно определить
точность оценивания, в частности найти доверительные интервалы для 0.
9.2.6. Уравнения, определяющие условно оптимальный экстраполятор.
Совершенно так же решается задача условно оптимальной экстраполяции,
поставленная в п. 9.1.4. Разница будет лишь в том, что в случае
экстраполяции Zt представляет собой оценку будущего состояния системы
Zt+/±., А > 0, которое в силу (7) определяется стохастическим
дифференциальным уравнением
dZt+b. = ф (-Zi+A, t + A) dt + ф (Уг+д, t -f- A) dW (t + А).
Заменив этим уравнением второе уравнение (5) и повторив все выкладки пп.
9.2.1-9.2.5, получим уравнения, определяющие коэффициенты уравнения
условно оптимального экстраполятора. Приведем полученные таким путем
результаты.
Условие некоррелированности ошибки с тцАУ дает, как и в п. 9.2.1, формулу
(18) для А(3, в которой
*о2 = А? (2г+д - AVt)^{Yt, Zt, 1)тц(Уъ Ut, t)T, .
х22 - Mr\ (Yt, ии ЛгЫУ*, zt, /)v2(/)i(51(yf, Zu /)тг] {Уt, uu ty.
Условия несмещенности оценки и некоррелированности ошибки с % АI
принимают в этом случае вид
MZt - MZt.hb, tV! (Zt-Zt+д) tj = 0.
§9.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 557
Из этих условий получаются уравнения (15), (22) и (24) для Аа и Ау и
формулы (16), (21) и (25) для тх, т,, хи, х21, уД, а
вместо
первой формулы (16) для т0, последней формулы (21) для у.01
и формулы (29) для у.'01 получаются формулы
т0 = уИ(Г (Д+а, /у- А), (35)
х01 = М[ф(г,+д, /тА)_/,;о]Н(Гь ии /)\ (36)
"01 - У-л -г Д (Д+д /1U) -щ-
-f- М \ (Zt^s - AU) f - С с, (а)т v.,p (/, д) сД фф
I
( д \ ду f д
X I. f+ 2t] rPT ¦
\ду ' 11 да j ду j
Г
¦tr
I. Хг .
\ М \Zt+д - AU - А6гд|ус2 (х)] X д"
X i; (V фщ2 (а), И + Рнф^, (х), /)Т-ДТ] v2P (/, ДсД, (37)
где с2(х), v,K и \\:Р - соответствующие величины в представлении
интенсивности v, процесса W.,(t) формулой вида (28).
В случае винеровского процесса 1V2(t) с2(х) = 0, v20==v2 и формула (37)
принимает вид
"01 :
<01 + M(Zt+l
-т ?
-ц ^ [(^+Д -Ч1-~^р11ФИ'2ф1] ( ^ + 1фг|3
M(ZU^ - AU) I tr
ди j
Фi X Vi f J^ + 2r\TPT д
tr
du j dy j
ЙФт^цТ (38)
Т. 0 О О
0 v2 ' о О
В качестве пояснения ко второй формуле (34) и формулам (37) и (38)
заметим, что роль матриц ф, ф1; v, v0 в задаче экстраполяции играют
соответственно
[Фхд 0], [0 фд], и величинам фу туф!, Ф^оФ!, Ф^Ф! и фтф( соответствуют
ФхХнЖ, [Фи-дО] |?° ° 1Г°.тЬ0,
= ФЛ,2Ф1, [Фх-д 0] V1 " ". =0.
О о "0 '
о Csl О .Фх
L0 ФЛ [ОФЛ
> Для вычисления математических ожиданий в первой формуле (34), в (36),
(37) и (38) недостаточно знать одномерное
' Vj 0 0
О т3_ _Фх
'vj 0 "0 _
0 v2 .Фх
558 гл. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ фильтрация И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
распределение составного случайного процесса [Y (t) T Z (/) г U (/)т]т, а
надо знать совместное распределение величин Yu Zu Zt+A, Ut при каждом t.
Чтобы найти это распределение, напишем уравнение (5.41), определяющее
двумерную характеристическую функцию g2 (Ах, Ao, А3, Lix, u2, р3; t, s)
процесса [Y (ty Z (ty U (!/)т]т при s > t. Совершенно так же, как в п.
9.2.5, получаем
dg2 (К, К, К, 14, 14, р3; t, s)/ds = М {гр^ (5Д, Z?, s) iplcp (Zs, s) +
¦f ^ ["J (Vs, Us, s) + M (Ys, Us, s) ф1 (Ys, Zs, s) + у J +
+1 (44 (^i, s)T Pi 4- ф (Zs, s) p2 +
+ ФД5Д, syy\(Ys, Us, s)T |3jp3; s)} exp {ih\Yt +i>JZt +
-f iUUt -r WIYS + i\$Zs -г г'Рз^Л ¦ (39)
К этому уравнению следует добавить начальное условие (5.42), которое в
этом случае имеет вид
§2 (^1, ^2, Яз, 14, 14, Рз, t, 0 - §1 (Я-l -т- Pi, Я3 - р2, Л3~кр3, t).
(40)
Распределение U0 при этом следует выбрать так, чтобы условия MZt = MZt+A,
M(Zt-Zt+A)Zj = 0 удовлетворялись при t - t0.
Уравнения (15), (18), (24), (31), (32), (39) и (40) полностью и точно
решают задачу нахождения условно оптимального экстра-полятора,
поставленную в п. 9.1.4 [62-66].
В частном случае, когда функции фх и ф\ в уравнениях (7) не зависят от Y,
для решения задачи достаточно знать двумерное распределение процесса [Z
(t)г U Д)т] г. Совершенно так же, как в п. 9.2.5, находим уравнение
(5.41) для двумерной характеристической функции g2 (Aj, Я2, Pi, р2; t, s)
этого процесса:
dg2{K, h, 14, Р2; t, s)/<5s = M{t'p)9(Z^, s) +
+ [аД (Us, s) + M (Us, s) Фх (Zs, s) - у J -f + Х(Ф(^, Дт 14 "Ь Фз (Zs,
s)rr\(Us, s)TKlV, s)}x
X exp {i'A(Zf -f щиt ф- tpTZ, + г'рзТ/Д. (41)
Для приближенного решения уравнений (31) и (39) или (33) и (41) совместно
с уравнениями (15), (18) и (24) можно применить один из приближенных
методов гл. 6. Методы § 6.4-6.7 дают возможность решить эти уравнения с
любой степенью точности .
Все замечания относительно уравнений (15), (18), (24) и (31) и функций I
и т| полностью относятся и к задаче условно оптимальной экстраполяции.
