Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
приближенным методом гл. 6, найдем 7 из 14 неизвестных элементов матриц
сс, Р, у. Остальные 7 можно или взять произвольно, или выбирать на каждом
шаге численного решения задачи так, чтобы средний квадрат ошибки был
минимальным на этом шаге. Если избрать первый путь, то целесообразно
взять те же значения а21, а22, а2з, "24. "25. Рг и у2, что и в уравнениях
обобщенного фильтра Калмана - Бьюси примера 8.10,
а22= vl> ОС24 = -6, СС25 = - vj1, СС21 = "23 = Pi = У1 = 0.
Таблица 5
t l 2 3 4
0,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
0,4 0,1584 0,1704 0, 1587 0,1584
0,8 0,0930 0,1076 0,0943 0,0930
1,2 0,0652 0,0789 0,0660 0,0652
1,6 0,0497 0,0618 0,0504 0,0497
2,0 0,0399 0,0508 0,0408 0,0402
В табл. 5 приведена зависимость дисперсии ошибки фильтрации от времени
для данной задачи для метода нормальной аппроксимации апостериорного
распределения (столбец 1), обобщенного фильтра Калмана-Быоси (столбец 2),
условно оптимального фильтра первого порядка (столбец 3) и условно
оптимального фильтра второго порядка в классе допустимых фильтров,
содержащем обобщенный фильтр Калмана - Быоси, при а21 = = a23 = Pi -Yi =
0, а22 = ^1, а24 = -6, а25 =-v-f1 (столбец 4). Расчеты произведены для Vi
= 0,01, v2=l.
Анализ результатов расчетов показывает, что даже условно оптимальный
фильтр первого порядка дает существенно более высокую точность
фильтрации, чем значительно более сложный обобщенный фильтр Калмана-
Бьюси, и приближается по точности к фильтру нормальной аппроксимации.
Результаты расчетов показывают также, что оптимизация (даже частичная) в
классе фильтров, содержащем данный фильтр (в нашем случае обобщенный
фильтр Калмана - Бьюси), может существенно повысить точность фильтрации.
Пример 3. Найдем условно оптимальный фильтр для задачи примера 8.3,
Y=X = Z+V2, Z = -Z0 + K i, 0 = 0.
§9.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 555
За основу класса допустимых фильтров примем первые два уравнения метода
нормальной аппроксимации и соответственно положим
g (г, 0, /) = (г0 г]т, т) (г, 0, ^) = 1.
Тогда уравнение (1), определяющее класс допустимых фильтров, будет
представлять собой систему двух уравнений
2 ~ CC11Z 0 -j- ocj 2Z -j- Р1У -{- yi,
0 = CC21Z 0 -T GC22z -j- У 2'
Формулы (19) и уравнение (18) в этом случае дают
х22 = v2,
k02 = A4 [(2 2)2 (0 - 0) Z]T = [/П2000 - лгюю т1100- тюо]]т,
Pl = V2 1 (лгзооп m1010), р2 = Т'2 (/Лпоо-----m100l)>
где mp7rs = MZp@'lZrQs. Уравнения (15) и (24), определяющие оптимальные
коэффициенты ац, а12, a2i, *22. Yn Уа. имеют вид
OToonaii Ч- лг0оюа12 Ч- Yi - - OTiio о - Pimmoo>
OTooiia2i + лгоо1оа22 + У2 = - Рглг-тоо"
(2/п0о22 -тЮ12 - moon) &11 4" (2/Поо21 - ^юи - пгооютоои) 2 -Г-
"Г (тооз1 - т1021) а21 + (тоозо - то020) "22 + (mooli - miooi) У1 4~
Ч- (т0о2о лгюю) У2 = - Яцц 4" m1100moon Ч- Pi (m2ooi -2m10n -f- тюоотооп)
Ч-Ч" Рз (лг2ою - тю2о) - v2Pimoooi4" v2pip2f(miooo- 2/л0ою)> (2m0o2i mion
- m0oiom0oii) "11 4"(2тоого- mwio - mooio) ецгЧ-4" (mooio - rn 1000) yi =
- тихо 4- тцооотюю 4*
4" Pi (OT2000 2^110104" mioooOTooio) v2plj
(m0oi3 mona) "ii + (mooi2 - fflom) сц2 -}- (2m0o22-m012i- moon) <*214*
Ч- (2m0o2i - m0120- m001omoooi) "ггЧ- (тооог- m010i) У1 +
Ч- (moon - mono) Уг= Pi (mnoi - тюог) + P2 (mino - 2mi0ii4'OTiooomoon) +
Ч- v2piP2 (moioo - 2m0ooi) ^'гРзтоою? (m0oi2 - mom) au4~ (m0on - m0110)
a12-(-(moo2i- m0onm0oio) a2i +
4~ (moo2o - mooio) "22 4" (moooi - шоюо) У1 =
- Pi (mmo - miooi) - P2 (mioio - miooom0oio) v2Pip2-
Наконец, напишем уравнение (33), определяющее совместную
характеристическую функцию величин 2, 0, 2, 0:
^?li(^n ^2> ^4" ^)/01 = Л4{-iXi 20 -j- i%2 {<X\\ZQ -j- оц224~ Pi^-f-У1) 4"
ik4 (ос2х20 -j- а222 Ч" Рз^Ч- У2) - V]Xi/2 -
- v2 (Pi^3+P2Xi)2/2} ехр {tX]Z+ iX20 -\-ik3Z-{-ikJi}.
Решив это уравнение совместно с уравнениями, определяющими матрицы а, р,
у, любым приближенным методом гл. 6, найдем коэффициенты уравнений
условно оптимального фильтра, предназначенного для оценивания состояния
системы Z=-024-14 и неизвестного параметра 0, и совместное распределение
величин Z, 0, 2, 0, с помощью которого можно определить точность
оценивания и найти доверительные области для 2 и 0.
Пример 4. Построим теперь для задачи предыдущего примера условно
оптимальный фильтр для оценивания одного только неизвестного пара-
556 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ II ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
метра 0. Для определения класса допустимых фильтров включим неизвестную
функцию времени Z в уравнении для 0 предыдущего примера в оптимизируемые
коэффициенты. Тогда получим следующее уравнение класса допустимых
фильтров:
(c) = а(c)-г {SX + y.
Таким образом, функции | и т] определяются в этом случае формулами
|(0, /) = 0, il(0. t)-\.
Поскольку все допустимые фильтры линейны, для определения а, у и у надо
пользоваться формулами (15), (16), (18), (19), (21) и (22). Эти формулы
последовательно дают
P = vf1 (m110 - m101),
Will-)- ИцоИоо1+ P ("101 ln100m00l)
2 2 '
171002-/71001
y = - am00i -Р"юо-
Уравнение (33) для совместной характеристической функции величин Z, 0, 0
