Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
порядка
Z - a2Z3 + a 2Z - р.Х - у.
За основу для выбора функций |(г, t) = [z г3]т и г] (г, /) = 1 мы выбрали
уравнение субоптнмального фильтра метода нормальной аппроксимацни, в
котором коэффициенты -.fi? (3 Д-тУ1) и \21R при Z и X заменены
подлежащими оптимизации функциями времени а2, р и, кроме того, введены
также подлежащие оптимизации коэффициент а2 при 7? и свободный член у.
Сначала находим по формулам (19)
-/.22 =. v2, х02 - М. (1 - Z) Z = т2о - /Нц,
где mrs--MZrZs. После этого формула (18) дает $ = х21(т20 - тц), и
уравнения (15) и (24) принимают вид
m03ai-r/n"ia2 + Y=-- /нзо -Р/Пю,
(4/Ноб -3/и15 -т5з) ai ~г (4т04 - Зт13 - m01m0S) а2 + 3 (т0з - т12) у =
" - ///ззл-л/зо/Ноз-ЬР (3//z22 - 4mi3Д-тю/Поз) 3v2P2 (/П12 /Ноз), mix) "з
=
= - /Нзг-г тзото1 -г Р (тзо - 2шц ~г т10т01).
Уравнение (33), определяющее совместную характеристическую функцию
случайных величин Zf и Zt, имеет в нашем случае вид
dgi (л-i, Х2; t)/dt - М | - ik2Z3 Д- i'X2 ("1Z3 - a2Z Д- PZу) -
1 ^ qо. 21 atZ ril,Z
-j VxkxZ* -2 v2P2a2 V е
Так как
м (izy (izy eiKz+iKz =_?lLgl {xu x2- t),
dr\<\dr\<2
то полученное уравнение сводится к линейному уравнению в частных
производных
dgx __, d3gl " , d3gx , " , dgx
-12 л-1 -3---ОЦ A2 -о- "Г а2Л2 э"ТЯ h
dt dtf dll |5X.2
- o-i dgj 1 .2 d2gi . (. 1 ил']
~ ^ -Ж7+2- ^ 'V^~T j ex-
Интегрируя это уравнение с а = 1а2а2], р и у, определяемыми полученными
алгебраическими уравнениями, найдем оптимальные а и у. Для этого можно,
конечно, применить любой приближенный метод интегрирования уравнений в
частных производных. При этом придется учесть, что моменты mrS в
уравнениях для а и у выражаются через характеристическую функцию gi
s 9.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
553
=0
формулой {ТВ, п.4.5.3)
Г dr+sgi
,Urs~ д (ИгУ д (il2y
Однако практически лучше всего применить для приближенного решения
уравнения для gi один из методов § 6.3 - 6.7, независимо от того,
сводится это уравнение к уравнению в частных производных или нет.
Пример 2. Если в предыдущем примере определить класс допустимых фильтров
второго порядка, содержащий обобщенный фильтр Калмана- Быоси примера
8.10, то следует положить Л = [1 0], U = [U\U 2]т- {Z i?]T и
соответственно принять
g (и, i) = [и\ и\ Uiti2 и{и2 и2~\, г| (и, t)~-u2-
.Тогда уравнения допустимых фильтров запишутся в виде Z = Л(/= [1 0]Х
X [U1U2Y = U1 и
Uт - "+осr2U{-р"гзУз +"ryj\U2-]-"r$U2+ рТЪ 2A (г = 1, 2).
Формулы (19) в этом случае дают
х22 - MU2 [0 1] х02 - М {Z - U2) Z = m200 - mnо> где mrsi=-MZrU iUi-
После этого (18) дает
Р1 = ЛР = [1 0]
U 2 - v2m002,
' "110
v2m002
Уравнения (15) и (24) в этом случае имеют вид
"030"11 яг020(r)12 -Г я"021*18 + "021"14~Ф "00S"1S Т Tl = - "300 - Pi
"102.
(4m0eo - З/К150 •- "озо) "п -J- (4m050 - 3mi40 - "о2о"озо) а12 ф-
+ (4mo4i - Зт131 - т0и"сзо) а13 -г (4твм - Зт141 - "о21"озо) "14 -
+ (4т032 - Зт122 - "оог"озо) "ю -г 3 ("озо - "120) Ti=
= "330 Ф' "300"030 + Pi (3"221--------4"131 "Г "101 "озо) -Г 3V2р 1
("1 12 - "022).
(Зт050 - 2mi40 - т020т030) ап -f (Зт0" - "020 - 2mi30) а12 ф-
(Зт031 - "о2о"о 11 - 2mi2i) а33 -r (3m04i - "o2o"o2i - 2mi3i) аи -
+ (3"022 - "020"00г) "15 Ф~ 2 ("020 "11о) Tl = "320 "300"020 "Г
+ Pi (2"2ii - Зт.121-ф "o2o"ioi) + Piv2 ("102 - 3m0i2),
(2"041 - "030"011 '-"13l) "11 + (2"031 - "020"011 nil 21) "12 +
ф- (2т022 - "он - "112) "13 -ф (2"оз2 - "oii"o2i -"122) "14 +
-ф (2m0i3 - "oil"002 - "юз) 01]5 -ф ("он - "101) 7i + ("050 - "140) "21
~г
Ф" ("040---"13о) а22Т ("031-----"121) "23 + ("041----"13l) "24 +
ф-("022 - "112) "25-Ф ("020 - "11о) Т2 = ~ "311 Ф~ "300"011 +
+ Pi ("202 2,"11-2 ~r"011"10l) PlV2"003 Ж Рг ("211 "121) +
n-Plp2A2("l02- 2"012),
(3"051----"030"021-----2"i4i) ЙЦ -ф (3"041----"020"021----2mi3i) "12 ф-
ф - (З"032--"011"021 2"122) "13 ф- (3"042 "021----2"132) "ц +
ф- (3"о23---"021"002 -----2"ц3) "15 ф- 2 ("021 "111) Tl "Ф ("060
"15о) "21 +
+ ("050-----"14о) "22 + ("041--"13l) "23+ ("051-----"14l) "24 +
"Г ("032 - "122) "25 + ("030----"120) 72 = "321 + "300"021 +
+ pi (2"212----3"i22 + "021"10l) + Plv2 ("103 3"01з) + Р2 ("221-
"13l) +
+ P1P2A2 (2"ii2 - З/Позг).
554 Гл- 9- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ и ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
(^032 w030m002) Кц+ (и022 (tm)020т00г) "12 "Г* (^013 - тОП^оог) ОЦз +
+ (т023--m021m30i) "14 + (/По04--(tm)00з) "15 + 2 (/ПоИ mi3l) Я21 +
~г2 (m03i - Ш121) а2г + 2 (Ш022- ^112) "23 + 2 (т032 - Ш122) "24 + ц- 2
(т013 - /?Цоз) "25 + 2 ("он - mioi) Y-2 = -^зог + ^зоотоо-2 +
+ 2(52 (т2о2 - Ш112) - ЗРхРаА'з/Лооз-г Psv2 (т1о2*~* то1г) + Pi (^002^101
- ттз). Уравнение (33; для совместной характеристической функции gi (?ч>
А2, А3; t) величин Z, Ui, U2 имеет в данном случае вид
dgi (Zi, А*2, A3*, t)/dt = М {-i"AiZ3-{-
+ iX2 ("п?+ + CC12U1 +ctisU 1U2 -j- auUiU2 + ai5t/2,+ PiZ(/2 +ух) +
+ ^3 ("21^ 1 + "22 + "23^ 1^ 2+ "24^ 1^2 +"25^2+ [+Z(/2+y2) -
-ViAiZ2/2 - ^2(^+2+ РаАз)2/2} exp {/AiZ-]-iX2U1 -]-1a3t/2}*
Решив это уравнение совместно с уравнениями, определяющими а, Р, у, любым
