Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
оптимальный фильтр в данном классе допустимых фильтров [58, 59, 61, 63 -
66].
Уравнение (31) можно решить совместно с (15), (18) и (24) любым
приближенным методом § 6.3 - 6.7. При этом, взяв достаточно большое N,
можно найти решение с любой степенью точности. Вычисления, необходимые
для определения коэффициентов а, Р. У в уравнении (2) условно
оптимального фильтра и совместного распределения Yt, Zt, Ut при любом
t^t0, конечно, очень сложны, особенно в многомерных задачах. Однако эти
вычисления используют только априорные данные и не опираются на
результаты наблюдений. Поэтому их надо выполнять для каждой конкретной
задачи (или класса задач) только один раз при проектировании фильтра
(алгоритма фильтрации).
Практическое применение фильтра при каждом конкретном эксперименте
требует только решения уравнения (2) при известных функциях времени а,
(3, у.
Обратим теперь внимание на то обстоятельство, что уравнения (15), (18) и
(24) (или (22) в случае линейного фильтра), связывающие Ух г-матрицу а,
Ух s-матрицу |3 и У х 1-матрицу у, дают pr -j- ps + p = р У + s + 1)
скалярных уравнений. Эти уравнения однозначно определяют сс, р, у в
уравнении (1) фильтра р-го порядка, для которого N = p, А=1р (конечно, в
случае обратимых при всех t^t0 матриц хи и я22). Однако они недостаточны
для определения У (r + s + 1) элементов матриц а, р, у при У > р. Поэтому
(У--р) (г + S+1) элементов матриц сс, р, у можно задать произвольно. В
частности, взяв за основу для определения класса допустимых фильтров
какой-нибудь субоптимальный фильтр, можно оставить уравнения для
вспомогательных переменных (образующих вектор S в п. 8.3.5) неизменными и
ввести коэффициенты сс, р, у, подлежащие оптимизации, только в уравнение
для оценки, приняв при этом, конечно, А - [I 0]. Тогда уравнения всех
допустимых фильтров будут содержать только p(r+s+l)
§9.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 551
неизвестных скалярных коэффициентов, которые можно однозначно определить
из уравнений (15), (18) и (24) (или (22) в случае линейного фильтра).
Можно также попытаться определить оставшиеся неопределенными (N - р) (г -
р s -f- 1) элементов матриц а> Р, У путем дополнительной минимизации
среднего квадрата ошибки M\Z-Z |2 на каждом шаге процесса численного
решения уравнения (31).
Заметим, что в некоторых случаях функции с, и rj в (1) или
(2) могут зависеть от неизвестных параметров. Так, например, взяв за
основу определения класса допустимых фильтров уравнения метода нормальной
аппроксимации, получим функции
1(У> г, t) = [f(y, z, R, /)т -/(1) (у, г, R, t)Th(y, г, R, /)т]\ Л (У, 2,
t) = h (у, z, R, t),
зависящие от неизвестной матрицы R. Взяв за основу уравнения какого-
нибудь другого метода гл. 8, можем получить функции |, г), зависящие и от
других неизвестных параметров - апостериорных моментов, семиинвариантов
или квазимоментов. В таких случаях можно заменять эти параметры
соответствующими априорными параметрами и определить их вместе с а, р, у
в процессе решения уравнений (15), (18), (24) и (31) (или 33)). Само
собой разумеется, это касается только параметров, от которых | и г)
зависят нелинейно. Параметры, входящие в ? и т) линейно, можно принять за
элементы оптимизируемых матриц аи(3.
Подчеркнем, что изложенная теория условно оптимальной фильтрации
(оценивания состояния и параметров систем) не дает абсолютно оптимальные
фильтры, удовлетворяющие уравнениям теории оптимальной фильтрации § 7.2,
а дает только условно оптимальные фильтры, которые, конечно, в общем
случае хуже оптимальных, но зато легко реализуемы. Однако, если абсолютно
оптимальная оценка Z вектора Z удовлетворяет уравнению допустимого
фильтра (1) или (2) при Z = AU при каких-либо функциях времени а, |3, у,
то уравнения (15), (18), (24) и (31), конечно, определят именно эти а, р,
у и условно оптимальный фильтр будет абсолютно оптимальным (абсолютно
оптимальный фильтр будет в этом случае допустимым, и следовательно,
оптимальным в классе допустимых фильтров). Точно так же, если оптимальный
фильтр в каком-нибудь классе, содержащем класс допустимых фильтров,
удовлетворяет уравнению (2) при каких-нибудь а, р, у, то теория условно
оптимальной фильтрации даст именно этот фильтр.
Теория условно оптимального оценивания дает возможность оценивать не все
компоненты вектора состояния системы (в общем случае расширенного), а
только некоторые из них. Для этого достаточно взять функции | и г) в (1),
зависящие только от соответствующих компонент вектора Z. Так, например,
взяв i и т|
552 гл. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ II ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
в (1) зависящими только от Y, t и оценок неизвестных параметров системы,
можно оценивать только параметры системы, не оценивая ее состояния. В
таких случаях будут получаться фильтры, порядок которых меньше
размерности р расширенного вектора состояния.
Пример 1. Для задачи примера 8.1,
Y^-X=Z-±-V2, Z - - Z3jrZVi,
найдем условно оптимальный фильтр, удовлетворяющий уравнению первого
