Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
математическое ожидание второго интеграла равно нулю. В результате
условие dM(AU-Z)?T = 0 даст уравнение (24), в котором у.'В1 определяется
формулой
Кох = и01 + М (Z - AU) ^ +
-fAl/(Z-AU) ^ c(x)T\'p(t, x)dx-i\i[ +
I L Rn
Jr^v"iK - | (-^- + 11TPT^-) ST +
+ 1 M (Z-AU) {tr [^(? + 2,4)' ?)?] +
+ tr | Pl'h 'Vlt'l'P' ж ж] } |T +
+ ^ M[Z - Л{/ + (Ф- ЛртрИ) с (x)] X Rn
х[|(К + ф1с'(х), и А- РпФ^*). t)T - lr]vp{t, x)dx. (29)
548 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Эта формула отличается от (26) двумя дополнительными интегральными
членами в правой части. М
Таким образом, в случае любого процесса с независимыми приращениями W (t)
в (5) с нулевым метематическим ожиданием и конечным моментом второго
порядка коэффициенты а и у определяются теми же уравнениями (15) и (24)
после нахождения Л|3 по формуле (18).
> В частном случае при Н (у, и, /) = [г/тцт]т, г\(у, и, t) = I
Отсюда на основании (28), пользуясь обозначениями (19), находим
или, в силу (18), ус'01 - к01. Таким образом, уравнение (22) для а,
полученное для случая | (у, и, t) - [y^ uT]T, ц(г/, и, t) - I при
винеровском процессе W (/) в (5), справедливо при любом процессе с
независимыми приращениями W (t) с нулевым математическим ожиданием и
конечным моментом второго порядка. М
Итак, оптимальные коэффициенты а, 0, у в уравнении фильтра (2) в общем
случае определяются формулой (18) и уравнениями (15) и (24), в которых
величины т0, mlt т2, х22, х02, хи, х21 и %'01 определяются формулами
(16), (19), (21), (25) и (29).
9.2.5. Уравнения, определяющие условно оптимальный фильтр. Для
вычисления математических ожиданий в (16), (19), (21), (24), (25), (26) и
(29) в общем случае необходимо знать совместное распределение векторов Yu
Zt, Ut при любом t^t0, т. е. одно-
|(r + i|V:(x), ?/ +Pi|y:(*), /)г - S1 =c(x)Taj)J[/mPT], -^- = [0 IN],
и формула (29) дает
Ko'i = x0i + M j(Z- AU) cpl- ^ cMTvp(^ x)dxtyl +
{
Хф![/тР1] = х01 + УИ |(Z - AU) Ф1 + + Ф v0-f $ с (x)c{xy x)dx tp*-
- ЛРФ1 v0+ J c(Ajc(r)Tvp(/, д:)Уг фД [/J3T].
*01 *01 ~T (*02 ^Р*2г) \Im PT],
§9.L'. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 549
мерное распределение составного случайного процесса [К(/)т Z (ty U
(/)т]т. Это распределение определяется уравнением (5.38), соответствующим
системе стохастических дифференциальных уравнений (2) и (5).
> Подставив в (2) выражение dY из (5), приведем эту систему уравнений к
виду
d
- у. -2 .С _ = Ф1(У> 2, t) Ф(Е, 2, t) аЦУ, U, 0 + Рт1(К, U,
ОФг(У, Z, 0 + 7. dt +
+ Г % (Y, z,*t) ф(Н Z, /) . Ртй(к, и, 0 Фд (У, z, 0- dW.
(30)
Сравнив это уравнение с (5.32), видим, что роль матриц a(z, t) и b (г, /)
в общей теории в нашем случае играют соответственно первая и вторая
матрицы в правой части уравнения (30). Подставив эти матрицы в (5.38)
и соответственно положив X =
= [ApcjA|]T, получим уравнение для совместной одномерной ха-
рактеристической функции (Xlt X2t Х3; t) процессов Y (t), Z (t) и U (t):
<3gi(X1; X2, X3; t)/dt = M {гХфр! (Yt, Zu t) +
+ iX\ф (Yt, Zu t) + iX3 (Yt, Ut, t) +
+ MYt, Uti t) Ф1 (Уи Zf, 0 + 7]~b 'ЬзсСФНУь Z,t, ty X1 + \p (Yt, Zt, ty
X2y + 4'i(^, Zu tyi)(Yu Uu t)TPTX3; 0} exp {iK{Yt-\-
У iX^Zf-y iXlU. (31)
К этому уравнению следует добавить начальное условие (5.39), которое в
этом случае имеет вид
gi(Xi, Х.2, Х3\ t") = g0(Xi, К К), (32)
гДе За (^it К, ^з) - совместная характеристическая функция начальных
значений Y0~Y(t0), Za-Z(t0), U0 = U(t0) процессов Y (t), Z(t) и U (l).
Само собой разумеется, начальное распределение определяемого уравнением
(2) процесса U (t) не может быть известным. Поэтому его неизбежно надо
задавать более или менее произвольно. Единственное требование, которому
следует подчинить это распределение, состоит в том, чтобы в начальный
момент / = ta удовлетворялись условие несмещенности оценки (14) и условие
(20). Как мы видели, только в этом случае фильтр, определяемый формулой Z
- AU и уравнением (2) при а, |3, у, удовлетворяющих (15), (18) и (24),
будет условно оптимальным. ^ В важном частном случае, когда функции ф, ф,
фу и фф в уравнениях (5) не зависят от Y, величина Y обычно не включается
и в уравнение (1) или (2), определяющее класс допустимых
550 ГЛ. 9- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
фильтров, т. е. функции ? и г| принимаются также не зависящими от Y. В
этом случае для определения всех математических ожиданий в (16), (19),
(21), (24), (25), (26) и (29) достаточно знать совместную одномерную
характеристическую функцию gi (?ii, Z2, t) процессов Z(t) и U (t). Чтобы
получить уравнение (5.38) для этой характеристической функции, достаточно
положить в (31) >ч = 0. Тогда, изменив нумерацию величин /.", Х3, т. е.
обозначив их и Х2 соответственно, получим
dgAK t)/dt = M {i>.pp(Zt, t) -
-f iX2 |a? (Ut, r) + Pn(^t> 0 Ti (Zt, 0~Y] +
+ 7 (Ф (Zt, ty К + ф, (Zt, ty Tl (Uu ty р'Ъ; /)} exp {ik\Z + iKU}. (33)
Уравнения (15), (18), (24) и (31), (32) полностью и точно решают
поставленную в п. 9.1.4 задачу. Решив эти уравнения совместно, находим
