Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
А л 2 cvxv(t). =
lv= 1 J
|M-l i |Л-1 |
= А ч 2 c\x\ (0 + cnx.x (0 = А л 2 cvxv (t) I -Г A {c vJC/v (0} =
l.v=l J lv=l J
1Л-1 |
= A , 2 Cvxv(t), A-cNAxN(t), (5) lv=l J
справедливые для любых чисел N, си ..., cN и для любых функций хД/), ...,
xN(t). Формула (4) показывает, что из условий (2) и (3) следует
справедливость принципа суперпозиции
§ 1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
29
для случая двух слагаемых. Формула (5) показывает, что принцип
суперпозиции выполняется для N слагаемых, если он выполняется для N-1
слагаемых. Из этой формулы по индукции следует справедливость принципа
суперпозиции при любом числе N слагаемых, поскольку он справедлив для
случая двух слагаемых. Таким образом, принцип суперпозиции является
следствием условий (2) и (3), что и доказывает достаточность этих
условий. М
Подчеркнем, что для линейности системы необходимо, чтобы принцип
суперпозиции соблюдался при любом числе слагаемых, при любом выборе
постоянных cv и функций xv(t).
Система называется нелинейной, если принцип суперпозиции для нее не
выполняется или выполняется только при некоторых вполне определенных N,
Xi(/), ..., xN(t), си ...,cN. Оператор детерминированной нелинейной
системы всегда нелинеен.
Примерами линейных операторов могут служить оператор дифференцирования
y(t) = Dx{t) = ±x(t), линейный интегральный оператор
t
*/(0 = r)x{x)dx
to
и более общий линейный интегро-дифференциальный оператор
К линейному интегральному оператору или к линейному ин-тегро-
дифференциальному оператору приводится оператор решения обыкновенного
линейного дифференциального уравнения
an(t)yM(t) + an-1(t)yin~1){t)+ . . . + a1(t)y'(t)+a0{t)y(t) =
= bm (t) *<"> (/) + (i) x^-" b, (t) x' (t) + b0 (t) x (t).
В качестве примеров нелинейных операторов можно привести нелинейный
интегральный оператор
t
y{t)=\ ф {х (т), х, t)dx,
*0
где ф(х, т, t) - данная функция, нелинейная относительно переменной х, и
оператор решения нелинейного дифференциального уравнения
y"(t) + ksiny(t)^x(t), описывающего, в частности, колебания маятника.
30
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Принцип суперпозиции значительно облегчает исследование линейных систем
по сравнению с нелинейными. Благодаря принципу суперпозиции теория
линейных дифференциальных уравнений разработана в самом общем виде для
уравнений любого порядка, в то время как теория нелинейных
дифференциальных уравнений развита значительно слабее.
Уравнения, описывающие поведение линейной системы, всегда линейны. И
наоборот, если все уравнения, описывающие поведение системы, линейны, то
данная система линейна. Если среди уравнений, описывающих поведение
системы, есть хотя бы одно нелинейное, то система нелинейна.
1.2.3. Весовая функция одномерной линейной системы. Рассмотрим
одномерную линейную систему. Ее входной сигнал как непрерывную функцию
можно представить разложением на бесконечно малые мгновенные импульсы
(ТВ, приложение 1)
со
x(t)= j) x(x)8(t - x)dx. (6)
- 05
Отсюда на основании принципа суперпозиции получаем следующее выражение
выходного сигнала:
00
y(t) - Ax(t)= J х(х) At8(t - x)dx, (7)
- СО
где индекс t у оператора А под знаком интеграла показывает, что этот
оператор действует на функцию 8(t - т), рассматриваемую как функция t при
фиксированном значении т. Формула (7) показывает, что для нахождения
реакции линейной системы на произвольный входной сигнал x(t) достаточно
знать ее реакцию на единичный мгновенный импульс б (t - т), действующий
на нее в произвольный момент т. Эта реакция зависит от переменных t и т,
т. е. от момента действия импульса т и текущего момента t\
g(t, т) = At8(t- т).
Функция g(t, т), определяемая этой формулой, является исчерпывающей
характеристикой линейной системы и называется ее весовой или импульсной
переходной функцией. Таким образом, весовая функция линейной системы
представляет собой ее реакцию в момент t на единичный импульс,
действующий в момент т.
Пользуясь понятием весовой функции, можно записать зависимость (7) между
входным и выходным сигналами в виде
СО
*/(0 = \ g(t> x)x(x)dx. - 00
(8)
§ 1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
31
Таким образом, оператор любой линейной системы может быть представлен в
форме линейного интегрального оператора.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение условия
([57], § 6.1)
00
§ |&(*> т) \dr < 00• (9)
- ОС
Для линейной системы говорят об устойчивости без указания режима ее
работы, так как она либо устойчива во всех режимах, либо неустойчива во
всех режимах.
Из общего условия устойчивости (9) выводятся частные критерии
устойчивости для различных классов линейных систем ([57], § 6.2, 6.3).
Для читателей, знакомых с элементами функционального анализа, заметим,
что формула (8) по существу вытекает из известной теоремы Рисса об общем
виде непрерывного линейного функционала на пространстве непрерывных
функций (40, 51]. Значение выходного сигнала у (t) при фиксированном t
представляет собой линейный функционал от входного сигнала x(t). Из
