Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(3.61) находим
d 2 aksU-Zk Н, = 2 aksdUs-dZk \ I,
45=1 J \S=1 /'
/ X
II
\s= 1
2 aksU-Zk dYr 4 Y^dU,
J \
du.
Y CLbJJ ,~Zh
4S = 1
У
. r, s= 1 m N
дЪ
дуг dtfs
TlrWpI
yir (CJTiy )^v n"4<ri); 2 V V (РлФдГ v,|;Ir, dt 4
r, s= 1
f
/•.= 1 S- I in N
dyr dus
Y aks (РлФОл (РлФО! -г Y Y akS it: (Pn^Pi)* VT
' r, s= 1
Г= 1 s= 1
dyr
Y - 2- ^777 (РлФ/WT j dt *).
или, в матричной форме,
d (AU-Z) E! = (A dU-dZ)V
^(AU-Z)^dt^dY'% + dU* *?)¦¦--г(^Рлф1Уф1-фуф!) (^--гЛФ1^) l'rdt: + \(AU-Z)
{tr | ф^фТ У + 2ПТРТ щ
-4- tr
jVdt.
Подставив сюда выражения dY, dZ и dU из (5) и (2), будем иметь
d (AU-Z) с1 = ((AaZ, 4- А^щу 4- Ay - ф) -j-
(AU - Z)
dV_
dt
tT
t?I1 _u (ETaT + cpir)TP1 -4- yr) ^
1 dy
du
-(ЛРтрНУфТ - фуф!) (у^ + ЛТРТ glj У +
+ ±(AU-Z) tr
Фп'ФТ
1 \dy
0 p.r d \ dT
2т1 P 7Г7 Д77
tr
РлфхУфЩф^^
du j dy
v\dt-rHdW, (23)
*) Как и в п. 9.2.2, (pT]%)ft, %/г и % представляют собой /i-е строки
матриц (5т)%, % и ф соответственно. Производные функции | (у, и, t) по
компонентам векторов у к и, так же как и сама функция ? (у, и, t), здесь
. везде дальше берутся при y = Y. u=-U.
§ 9.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 545
где через Н обозначена сумма всех получившихся коэффициентов при dW.
Подставим в правую часть выражения Ау из (15) и приравняем нулю
математическое ожидание полученного выражения d(AU-. Тогда, принимая во
внимание независимость Я и dW и что MdW = 0, получим уравнение для а, у:
1"Х,
M(AU-Z)(?raT-t-ут)
д?
ди
-=
-а$у:,л,
где хи определяется первой формулой (21), а ^21 = М [rj (Y t, Ub t)yx(Yu
Ut, t)-m2]l(Yt, li ь t)\
(24)
(25)
х", = xn
M(Z-AU)^ + M{(Z-AU) Ф( +
-Лрг|фруфф} (
M (Z-AU) jtr
d_
\dy
ф^ф'
1 \dy
-h tr
Ws)!'
d dT
ррф^ф1т]трт
du du
V. (26)
В формуле (26) х01 определяется последней формулой (21). Все функции без
указания аргументов представляют собой значения соответствующих функций в
момент t, например, ^~l(YuUt, t), 4!i = (Pi(Yt, Zu t). Уравнение (24)
совместно с (15) определяет а и у после вычисления р по формуле (18). М
9.2.4. Уравнения для оптимальных коэффициентов в общем случае.
Перейдем, наконец, к общему случаю произвольного процесса W (t) с
независимыми приращениями с нулевым математическим ожиданием и конечной
ковариационной матрицей. Такой процесс в общем случае выражается формулой
(3.46):
Rn
где W0{t) - винеровский процесс, с(х) - некоторая векторная функция (той
же размерности ц, что и процесс W (t)) n-мерного векторного аргумента х,
а интеграл при любом t ^ t0 представляет собой стохастический интеграл по
центрированной пуассоновской мере Р° (t, В), независимой от процесса W0
(t) и имеющей независимые значения на попарно непересекающихся множествах
(пп. 3.2.2 и 3.4.5).
> Для дальнейшего нам понадобится вычислить интенсивность процесса W (t).
Для этого воспользуемся формулой (3.47) для одномерной характеристической
функции hx (У, t) процесса W (t)t
1
ШЛДХ; t)=-Xх ^ v0(т)dxK-f- ^ - 1-ikrc(x)\\x(t, x)dx,
о Rn
546 гл- 9- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
где v0 - v0(0-интенсивность винеровского процесса W"(t), а fi(t,x)dx -
математическое ожидание числа скачков процесса W(t), равных с(х) (точнее,
для любой бесконечно малой области Ах, содержащей точку х), р(/, х)Ах +
о(Дх) представляет собой математическое ожидание числа скачков процесса W
(t), принадлежащих множеству {у. у = с(х), х^Ах]. Но математическое
ожидание простого пуассоновского процесса, порождаемого потоком скачков
процесса W (t), равных с(х), равно интегралу по времени от интенсивности
vP(t, x)dx этого потока:
Подставив это выражение в предыдущую формулу, будем иметь
Для нахождения интенсивности процесса W (t) вычислим ковариационную
матрицу k(t) его значения Wt при данном t. Так как {ТВ, п. 4.5.3)
то для нахождения k(t) достаточно дважды продифференцировать формулу (27)
по Я и положить после этого Я = 0. В результате, учитывая, что Лх(0; /) =
1, получим
о
_р (j (*> - j - ц?с (т> ух\ ух_ (27)
Rn j
0 V Rn
И
dh (Я: t) I diX J о
о V Rn
$9.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
547
Отсюда видно, что интенсивность v (/) процесса W (t) определяется
формулой
v(/) = v0(/)+ ^ с (х)с (х)т vp(t, x)dx. 4 (28)'
ft"
> Вычислим теперь стохастический дифференциал d(AU-Z)?T. Согласно
обобщенной формуле Ито (3.75) в этом случае в правой части формулы (23)
вместо v будет интенсивность v0 винеровского процесса и добавятся
интегральные члены
^ {А (ТУ + РчФ^М]-Z-фс(х)}х
x|;(r-f U+&ty-
- (AU -Z) ?г - (Лртуф! - ф)с(х)?т -
- (AU-Z) с (хУ + ЛТРТ J;) ^т] ^ (t, х) dxdt +
-+- ) [М [^ + (*)] - Z-фс(х)}х
Rn
х^(К^ф1С(х), "У -т- Pn4>iC (JC), ty - (AU-Z) |г] dP° (t, dx) =
= ^ /[AU-Z-Y (А^цлр!-ф)с(х)]х R" I
xiKY + ^cix), u-yPrp|>ic(x), ty - ST] -
- {AU - Z)c(xy^l ( - -i-ifPTAj gT|vp(f, x)dxdt +
+ 5 {iAU - Z + HPti^i- Ф)с(х)]1(^ + Ф1с(х), iZ + Prpl^x), ty -
R" - (AU-Z)?}dP°(t, dx).
Математическое ожидание первого интеграла добавится к выражению dM(AU-
Z)|r, найденному для случая винеровского процесса W (t) в п. 9.2.3, а
