Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
MM\p(Yt, Zt, t) v(t) (Yt, Zt, t)A}(Yt, Uf, ty, = Mr\(Yt, lJt, /)4n(K,,
Zt, 0v(04'i('^b Zt, t)Tr\(Yf, Uf, t)1. (19)
Само собой разумеется, формула (18) справедлива только в том случае,
когда матрица х.,, обратима. Если это условие не выполнено, то решение
задачи невозможно. Заметим, что условие обратимости матрицы
х22значительно слабее условия обратимости матрицы в теории
оптимальной фильтрации §7.2. Матрицах.,.,
может быть обратимой даже в том случае, когда матрица флДТ не обратима ни
при каких Y, Z, t. Для обратимости матрицы х.,, представляющей собой
ковариационную матрицу случайного вектора тДУД, Ut, /)r|)i(Ef, Zf, t)dW,
деленную на dt, необходимо и достаточно, чтобы компоненты этого вектора
не были связаны никакими линейными зависимостями (ТВ, п. 3.3.4).
Сократив первое равенство (17) на At и перейдя к пределу при s ->¦ t,
получим
M(Zf - Zt)lTt = 0. (20)
Это условие будет выполнено при всех t > /0, если оно выполнено при t =
/0 и дифференциал dM(Zt - Zt)?Tt равен нулю при всех t^t9. Чтобы
вычислить этот дифференциал, достаточно найти стохастический дифференциал
функции (Zt - Zf) = (AUt - Zt) случайных процессов Yt, Zt, Uf по формуле
дифференцирования сложной функции и взять математическое ожидание
полученного выражения.
9.2.2. Случай винеровского процесса и линейного фильтра.
Сначала мы вычислим дифференциал dM(Zt - Zf) t) для частного случая
винеровского процесса W (t) и линейного уравнения фильтра (2), когда
Ку, и, I =--[у1 ит]т, 1] (у, и, t)-I.
542 гл. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
В этом случае
d{Zt-Zt)l] = d{AUt-Zt) [Y]U)\.
> По формуле Ито (3.61), опуская для краткости индексы t, находим
элементы матриц d{AUt-Zt)Yj и d{AUt-Zt)Uj:
d( 2 akhUh-Zk)Yl = ( 2 akhdUh-dZk)Y,+
\ft=1 J \h=1 1
+ (ft2 akhUh-lZ^jdYt + (^2 dt,
d (^2 akh^h-U l = akh
f N \ f N \
+ ( 2 akhUh-Zk W/,-H 2 akh (P4\)ftv ((Згр1)г - фАу ффх), )dt,
\ft=i J \a=i J
где akh-элементы матрицы A, (Рфх)л, фхЛ, фл -Л-е строки матриц Рф1( фх и
ф. Из этих формул вытекают следующие матричные равенства:
dM(AU-Z) Гт = = М (A dU-dZ) Yг + М (AU-Z) dFT + (ЛрМфхУф!-Мфуф!) dt,
dM(AU-Z)UT = = М (A dll-dZ) UT + М {AU-Z) dUT + (ЛрМфхУф!-Мфуф() $Tdt.
Подставив сюда dY, dZ и dll из (2) и (5), будем иметь
dM {AU-Z) Yr = М (Aat -f- ЛРфх + Ay-ф) YT dt -j-+ {M {AU - Z) ф^ + ^РМфх-
уф!-А1фуф!} dt, dM {AU-Z) UT = M {Aal -f Лрф1 + Ay-ф) Ur dt + + M {AU -
Z) (?TocT + yT) dt + {M {AU-Z) ф! +ЛрМфхУф^- - Мфуф^} PT dt.
Но в силу несмещенности оценки и неслучайности у M{AU-Z)yT - = M{Z-Z) ут
= 0, а выражение в фигурных скобках равно нулю в силу (18), (19) при Т1 =
/. Поэтому, подставив в полученные равенства выражение Ау из (15), будем
иметь
dM {AU-Z) Гт = = {АаМ (1-mx) Yr + АЩ (ф1 - т2) YT - М {ц> -т0) YT}dt, dM
{AU-Z) UT = = [AclM (I - m-x) Ur + A$M (фх - m2) Ur-M (<p - m0) UTj dt-\-
+ M{AU - Z) dt,
dUh-dZk )Ur
§ 9.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ 543
ИЛИ
dM (AU - Z) Ет = {АаМ (Z-mJ V +
+ Л|ЗА1 (qy - /?г2) Ет-Л'1 (ф - т0) Нт} dt + М(AU¦-Z) Ет [0 ат] dt,
где нулем обозначена (m + N)xm-матрица, все элементы которой равны нулю.
Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение для М (AU
- Z) Iх = М (Z - Z) Ет. Для выполнения условия (20) необходимо, чтобы
интеграл этого дифференциального уравнения был тождественно равен нулю.
Но интеграл линейного дифференциального уравнения равен тождественно нулю
тогда и только тогда, когда он равен нулю в начальный момент /=/0 и
уравнение однородное. Это дает условие
Аахп + Л(3х21 - х01 = 0,
где
яи = М [Н (У ь Ut, t)-mi]l(Yt, U и t)\
хи = М[ф1(У" Zt, t)-m2]l(Yt, Uu t)\ (21)
хо1 = М[Ф(Г" Zt, t)-m0]UYt, Ut, t)\
Отсюда находим
Аа = (хо1 - А$к.п)х^. <4 (22)
Для того чтобы можно было определить А а по этой формуле, необходимо,
чтобы матрица хи была обратимой при всех t^tn. Из первой формулы (21)
следует, что это условие всегда будет выполнено, если компоненты
векторной функции Е не связаны линейными зависимостями (ТВ, п. 3.3.4) (ии
представляет собой ковариационную матрицу случайного вектора E(Ft, Ut,
t)). Таким образом, в случае линейной фильтрации процесса, определяемого
нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением, условие (20) будет
выполнено при всех t > тогда и только тогда, когда оно выполнено в
начальный момент t = t0 и коэффициенты сс, р уравнения (47) удовлетворяют
уравнениям (18) и (22) при всех t^t0. После определения Аа и Л|3 по
формулам (18) и (22) величина Ау находится из уравнения (15). О том, как
определяются математические ожидания в (16), (19) и (21), будет сказано
дальше.
9.2.3. Случай винеровского процесса и нелинейного фильтра.
Рассмотри.м теперь случай произвольной функции \(у, и, t), непрерывной
вместе со своими первыми и вторыми производными по компонентам векторов
у, и и первой производной по t, и любой функции Г) (у, и, t).
544 Г.Т. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
> В этом случае для винеровского процесса IV (/) в (5) по Формуле Ито
