Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальных уравнений. Оптимальный фильтр этого класса будет, как
правило, лучше и уже во всяком случае не хуже, чем данный фильтр.
Таким образом, теория условно оптимальной фильтрации обладает двумя
несомненными преимуществами по сравнению с методами субоптимальной
фильтрации. Во-первых, она позволяет получать фильтры более низкого
порядка и, следовательно, более простые в реализации. Во-вторых, она дает
возможность получать фильтры не меньшей, а при желании и большей
точности, чем фильтры, даваемые методами субоптимальной нелинейной
фильтрации.
§9.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
539
Теория условно оптимальной фильтрации применима также к системам со
случайно изменяющейся структурой, так как такие системы описываются
стохастическими дифференциальными уравнениями такого же вида, что и
второе уравнение (5) (п. 5.3.10).
§ 9.2. Решение задач фильтрации и экстраполяции
9.2.1. Определение коэффициентов уравнения условно оптимального
фильтра. Для нахождения оптимальных коэффициентов а, р, у в уравнении (2)
рассмотрим два момента времени t~^tQ и s > t. На основании (2) для
бесконечно малого At = s - t можем написать с точностью до бесконечно
малых высших порядков
U s--Uf = cditAt -j- PrpAK + yAt, (12)
где AY=YS-Yt, а через if, r]( для краткости обозначены i(K(, Ut, t),
r](Kt, Ut, t). Точно так же на основании первого уравнения (5) имеем с
точностью до бесконечно малых высших порядков
ДГ = ф14Д/ + г|)цЛЦ7,
где AW==WS-Wt, сри = ф, {Y и Zt, t), Zt, t). Подста-
вив это выражение в равенство (12), умноженное .слева на А, будем иметь
Zs-Zt = Aa%At -f ЛРр* (сриА/ 4-фиАЦ7) + А у At. (13)
Очевидно, что Zs будет оптимальной оценкой Zs тогда и только тогда, когда
Zs-Zt будет оптимальной оценкой Zs-Zt, так как Zs - Zs = (Zs - Zt)-(Zs -
Zt). Таким образом, требуется определить а, р, у так, чтобы величина Zs -
Zt была оптимальной оценкой Zs-Zu обеспечивающей минимум среднего
квадрата ошибки M\ZS - ZS |2. Формула (13) задает структуру допустимой
оценки величины Zs-Zt, а именно, при любом t^t0 в каждый момент s > /,
бесконечно близкий к t, оценка должна быть линейной функцией случайных
векторов
ltAt = l{Yt, Uit t) At
И
11*Д^ = Т1,(Ф1*Д/ + Ф14ДЮ = П(^, ии /) [Фх (К#, Zf, t)At +
+ ОД(r)7]-
Этим определяется использование информации, получаемой до момента t,-она
влияет на оценку в момент s только посредством значения величины Ut под
знаком функций | и т] в (13). В этом состоит ограничение, накладываемое
на класс допустимых оценок
540 гл- 9- УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
требованием, чтобы они определялись формулой Z = AU и уравнением (2) при
каких-нибудь а, Р, у. Но для того, чтобы линейная функция случайных
векторов ?fAt и щАК была оптимальной оценкой случайного вектора Zs - Zu
необходимо и достаточно, чтобы она была линейной средней квадратической
регрессией Zs, -Z, на t,At и (ТВ, п. 9.2.2). Поэтому для
определения
оптимальных коэффициентов Аа, Лр, Ау в (13) можно применить теорию
линейной регрессии (ТВ, п. 9.2.5).
I*- Согл асно теории линейной регрессии для оптимальности
сценки Zs-Zt величины Zs-Zt необходимо и достаточно, чтобы
оценка была несмещенной и ошибка Zs - Zs была не коррелиро-гана со
случайным вектором [(сДДг (щДУ)г]1.
Условие несмещенности оценки дает
М (Zs-Zt) = M(Zs-Zf).
А так как это равенство должно быть справедливо при любом s > /, то,
положив s-^t, после сокращения получим
MZt = MZt. (14)
Чтобы это условие было выполнено при всех t > fn, необходимо
и достаточно, чтобы оно было выполнено при t = t0 и чтобы при
всех t^ta дифференциал dM (Zt - Zt) был равен нулю. Для вычисления этого
дифференциала воспользуемся формулой Z1 = AUt и уравнениями (2) и (5).
Тогда, учитывая, что величина AW не зависит от Yt, Zu Ut и что Л4Л1Й = 0,
получим
(AaM^f -j~ Ау - Мц>() dt == 0.
Это дает уравнение, связывающее а, Р, у:
Аапц -Г А$т2 -Ц Ау = тй, (15)
где для краткости положено
/п0-=УИф(Гь Zf, /), m1^Ml(Yi, Ut, t),
m2 = Мц (Yf, Ut, t) Фх (Yu Zf, t). (16)
Таким образом, Zt будет несмещенной оценкой Zt при всех ?'>z0,
если Z0 = Z(/0) является несмещенной оценкой Z0 = Z (t0) и коэффициенты
а, р, у уравнения (2) удовлетворяют уравнению (15) при всех t ^ /0.
Условие некоррелированности ошибки Zs - Zs со случайным вектором [(?Л/)Т
(г)АК)т]т в силу несмещенности оценки Zf дает
М (Zs - Zs) I]At = 0. M Zs - Z A Y: n} = 0.
(17)
§9.:.'. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
541
Подставив во второе из этих равенств выражения
Zs ---- Zt -f (Aalt + Ay) At - Лрщ (cpltA/ + фцА1Г),
Zs - Zt -г ф,А( и- ^tAW, A Y = (fi/А/ - - ф1(АЦ7,
вытекающие из (2) и (5) и формулы Z - AU с точностью до бесконечно малых
высших порядков, приняв во внимание, что Yf, Zt, Ut независимы от AW и
MAW = 0, MAW AW1 -= vfAt -- о (At), получил
{M(Z1 - Zt) 4ltWt 4 At -г о (At) = 0.
Отсюда после сокращения на At и перехода к пределу при At - - 0 находим
Лр-ХооХ^1, (18)
где
*02 = M(Zt - AUi)K1(Yu Zt, /)гп(К#, Uu ty-г
