Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
оптимального в некотором интервале времени, включающем точку Г [23].
Такой фильтр тоже будет оптимальным по Парето, так как в классе
допустимых фильтров не существует фильтра, лучшего, чем этот, при t = Т.
При решении поставленных задач можно отказаться от тех ограничений,
которые приходится накладывать на уравнения (7.5) в теории оптимальной
фильтрации. Поэтому в задаче условно оптимальной фильтрации возьмем
уравнения (7.5) в самой обш,ей форме
dY = cFl(H, Z, t)dt + ^(Y, Z, t) dW,
dZ = у (Y, Z, t)dt-r^(Y, Z, t)dW w
и будем предполагать, что W (t) представляет собой процесс с независимыми
приращениями с нулевым математическим ожиданием (это практически не
ограничивает общности) и конечной ковариационной функцией
/Са,(П, n) = /e(min(^i> П)),
1
k(t) = k(t0) ф- ^ v(t)c/t. W
^0
*) В теории многокритериальной оптимизации система называется оптимальной
по Парето (парето-оптимальной), если в классе допустимых систем не
существует лучшей системы одновременно по всем критериям. Парето-
оптимальная система может быть оптимальной по какому-нибудь одному
критерию или по нескольким критериям. Однако она может и не быть
оптимальной ни по какому из принятых критериев [113].
§9.1. ЗАДАЧИ УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРА! ИИ
537
Для задачи экстраполяции необходимо ограничиться, как и в п. 7.1.6,
случаем, когда функции ср и ф не зависят от наблюдаемого вектора У,
процесс W (/) состоит из двух независимых блоков U7, (/) и
соответственно матрицы ф и ip! имеют блоч-
ную структуру ф = [ф' 0], фд = [0 фд], так что ф dW ф' dWu фдdW =
ф(с/1Т\:. В этом случае, отбрасывая штрихи у функций ф-' и т]д, напишем
уравнения (7.6) в виде
JГ д , (1Z, t) dt ф- фд (Y, Z, t)dW",
dZ ¦- cp (Z, t)dt + yp(Z, t)dWu ' (/)
где W.,(t) - независимые процессы с независимыми при-
ращениями с нулевыми математическими ожиданиями и конеч ными
ковариационными функциями
(^i, t2) = /г,- (min (1г, /,)),
t
М') k i!) \ v -т) :/r (I = 1,2). (8)
to
В случае автокоррелированной помехи в наблюдениях, имел в виду, что
оценивать необходимо только состояние и параметры системы, но не помеху,
будем рассматривать отдельно р-мерный вектор состояния системы Z (может
быть, расширенный путем включения в него неизвестных параметров системы)
и й-мерный вектор помехи X, причем будем предполагать, что h^m*).
В задачах практики состояние системы и помеха определяются различными,
независимыми одно от другого стохастическими дифференциальными
уравнениями (уравнением системы и уравнением формирующего фильтра
помехи). Однако для общности целесообразно при построении теории
рассматривать случай, когда Z и N определяются совместными
стохастическими дифференциальными уравнениями.
Таким образом, для задачи фильтрации при автокоррелированной помехе в
наблюдениях будем записывать уравнения наблюдения, системы и формирующего
фильтра помехи (7.5) в виде
UY >1,0, Z, N, t) dt,
dZ = tp (Y, Z, X, t)dt + q(Y, Z, N, t)dW, (9)
dN = (f0(Y, Z, N, t) dt -j- Фо (Уу Z, X, t)dW.
*) Размерность вектора помехи не может быть меньше размерное!:;
наблюдаемого вектора, так как никакая линейная функция наблюдаемо!<_¦
вектора не может быть свободной от ошибок измерений.
538 ГЛ. 9 УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
Для задачи экстраполяции будем записывать (7.6) в виде dY = ф1 (П, Z, N,
t)dt,
dZ =cp(Z, t) dt-j-\p (Z, t)dWu (10)
dN - ф0 (N, t) dt -j- t|*0 (N, t) dW2.
В практических задачах обычно наблюдается сигнал
X = <fl(Z,N,t) (11)
с помехой N, а исследуемая система и формирующий фильтр помехи, как уже
было сказано, описываются независимыми уравнениями. В этом случае функции
и ф в уравнениях (9) не зависят от F и Л', функции ср0 и ф0 не зависят от
Y и Z, a W состоит из двух независимых блоков и W.2, один из которых
входит только в уравнение системы, а второй-только в уравнение
формирующего фильтра. Матрицы ф и ф0 при этом имеют соответствующую
блочную структуру ф = [ф/ 0], ф0 = [0 фо], так что ф dW - = ф'dWu \\)0dW
= f0dW2.
Ясно, что в результате решения поставленных задач можно получать фильтры
значительно меньших порядков, чем фильтры, даваемые методами
приближенного решения задач оптимальной фильтрации; наинизший порядок
фильтров главы 8 есть р{р -\~ 3)/2, в то время как условно оптимальные
фильтры могут иметь любой порядок, не меньший, чем р (и меньший, чем р,
только в случае оценивания части компонент вектора Z).
Что же касается точности фильтрации, то, как было показано в п. 8.3.5,
методы гл. 6 дают возможность оценивать по априорным данным точность
любого фильтра, описываемого конечным числом стохастических
дифференциальных уравнений, независимо от того, каким методом получен
этот фильтр. Это позволяет сравнивать по точности методы теории условно
оптимальной фильтрации с методами субоптимальной фильтрации. Кроме того,
принятый в теории условно оптимальной фильтрации метод построения классов
допустимых фильтров позволяет построить класс допустимых фильтров,
содержащий любой наперед заданный фильтр, описываемый конечным числом
