Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдаемого сигнала до s-ro порядка включительно, если его s-я
производная содержит белый шум. При этом производные, не содержащие
белого шума, могут входить в уравнения фильтров нелинейно. В этом случае
задачи условно оптимальной фильтрации удается решать при произвольных
уравнениях наблюдения и формирующего фильтра помехи, не требуя их
линейности, как это приходится делать в теории оптимальной фильтрации.
На основании сказанного определим класс допустимых фильтров в случае
автокоррелированной помехи в наблюдениях уравнением
dZ = al{Y, Y, . . ., J(tm), Z, t)dt +
+ pri(Kt К, ..., К<*>, Z, t)dY^ + ydt (3)
или более] общими формулами Z = All и уравнением dU = al{Y, К, ..., Yu\
U, t)dt +
+ М(У, У, •••, V(tm), и, t)dY^^ydU (4)
где матрица А определяется так же, как и в случае белого шума в
наблюдениях.
Конечно, можно и не вводить производные наблюдаемого сигнала в уравнения
допустимых фильтров или вводить производные до порядка h < s. Для этого
достаточно взять функцию | незави-
§9.1. ЗАДАЧИ УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 535
симой от К(л+1), ..., К(5) и положить т] = 0 [67, 69]. Однако качество
фильтрации значительно улучшается при вводе производных наблюдаемого
сигнала до порядка s включительно.
Функции | и г) в (3) или (4) можно взять произвольно. Однако
целесообразно их выбирать, руководствуясь соображениями п. 9.1.1, приведя
сначала задачу к случаю белого шума в наблюдениях путем s-кратного
дифференцирования уравнения наблюдения и исключения некоторых компонент
помехи с помощью уравнения наблюдения и уравнений, полученных из него (s-
1)-кратным дифференцированием.
9.1.4. Постановка задач условно оптимальной фильтрации и
экстраполяции. Определив класс допустимых фильтров, следует решить вопрос
о том, какой фильтр в этом классе считается оптимальным. В соответствии с
общей постановкой задач фильтрации и экстраполяции в п. 7.1.6, требующей
нахождения оптимальной оценки текущего или будущего состояния системы в
каждый момент / > t0, естественно считать оптимальным такой фильтр,
который дает в известном смысле наилучшую оценку при всех /> t0. Однако в
общем случае нелинейной системы в классе допустимых фильтров может не
быть такого фильтра, который давал бы наилучшую оценку при всех t > t0. В
самом деле, такой фильтр был бы оптимальным одновременно по множеству
критериев. В каждый данный момент t > t0 условие М \ Zt - Zt |2=min или М
\ Zt-Zt+± |2 - = min представляет собой один определенный критерий
оптимальности. Требование, чтобы это условие выполнялось для некоторого
множества значений t, равносильно требованию оптимальности фильтра
одновременно по соответствующему множеству критериев. Иными словами,
задача оптимизации фильтра при всех t > t0 представляет собой задачу
многокритериальной оптимизации. Такие задачи, как правило, не имеют
решения [113]. Фильтр Калмана - Бьюси, дающий оптимальную линейную оценку
состояния линейной системы в каждый момент t > t0, представляет собой
исключение. Значит, оптимальность фильтра надо определить так, чтобы
решение задачи было возможно.
Исходя из приведенных соображений, будем считать оптимальным такой фильтр
из класса допустимых фильтров, который при любом ; совместном
распределении величин Y, Z, Z в момент дает наилучшую оценку Zs вектора
Zs или вектора Zs+д, А > 0, в бесконечно близкий момент s > t, s -1,
реализующую минимум среднего квадрата ошибки М \ Zs-Zs |2 или
соответственно M\ZS-Zs+A |2. Иными словами, будем считать оптимальным
такой допустимый фильтр, который на каждом бесконечно малом интервале
времени совершает оптимальный переход из тсго состояния, в котором он
оказался в начале этого интервала, в новое состояние. Такой допустимый
фильтр будем называть условно оптимальным. Тогда задачи фильтрации и
экстраполяции, поставленные
536 I Л. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ II ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
в п. 7.1.6, сведутся к нахождению оптимальных значений a, jl п у в (1),
или (2), или (3), или (4) в любой момент t ^ обеспечивающих минимум
среднего квадрата ошибки фильтрации М | Zs-Zs |- или экстраполяции /VI
jZs-Zs , ± |-, А ш- 0, в бесконечно близкий будущий момент s > г, s-+t.
Условно оптимальный фильтр обладает тем свойством, что в данном классе
допустимых фильтров не существует фильтра, который при данном начальном
распределении Z и Z в момент i" был бы лучше условно оптимального при
всех ? > t0. Это значит, по терминологии теории многокритериальной
оптимизации, что условно оптимальный фильтр представляет собой один из
множества допустимых фильтров, оптимальных по Парето *). Однако в классе
допустимых фильтров могут существовать фильтры, лучшие, чем условно
оптимальный, при некоторых значениях t > t". Так, например, если бы
удалось определить функции сс, (1 и у в (1), или (2), или (3), или (4) из
условия минимума среднего квадрата ошибки в некоторый данный момент Т >
/0 (такие сс, fl и у, конечно, будут зависеть не только от {, но и от
7"), то соответствующий допустимый фильтр может оказаться лучше условно
