Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
у в уравнении (1) как функции времени из условия минимума среднего
квадрата ошибки, M\Zt-Zf|2 = min, при всех t ';-t0. Это приводит к теории
условно оптимальной фильтрации, в которой уравнение фильтра задается
заранее и оптимизируются только коэффициенты этого уравнения [58, 59, 61,
63, 65].
Заметим, что выбор функций ? и ц в (1) при применении методов § 8.2 не
единствен. Так, например, в методе ортогональных разложений можно принять
так же, как и в методе нормальной аппроксимации, ? = [/г - /(1>T/iT]r, r\
- h, a = [Ip/p], 11> = 1р, у = 0. То, что при этом функции % и т]
получаются зависящими от неизвестных параметров R, сх (|v| = 3, . .., N),
как будет показано дальше, не имеет существенного значения. Впрочем, чем
больше компонент берется у вектора Н и чем больше строк у матрицы ц, тем
точнее будет фильтрация.
§9.1. ЗАДАЧИ УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
533
9.1.2. Классы допустимых фильтров. Итак, мы пришли к идее решения
задач 1 и 2 п. 7.1.5 путем нахождения оптимального фильтра в некотором
классе допустимых фильтров, определяемом условием, чтобы поведение
фильтра описывалось дифференциальным уравнением заданного порядка и
заданной формы. Таким образом, мы отказываемся от абсолютной оптимизации
и ограничиваемся условной оптимизацией в заданном ограниченном классе
фильтров.
В п. 9.1.1 класс допустимых фильтров был определен уравнением (1) того же
порядка р, что второе уравнение (7.5). Определив оптимальные коэффициенты
а, |ф у в уравнении (1), можно оценить точность полученного условно
оптимального фильтра, как показано в п. 8.3.5. Если точность фильтрации
оказывается недостаточной, можно повысить порядок допустимых фильтров,
например, вз-ять за основу уравнения (8.2) и (8.3) метода нормальной
аппроксимации и соответственно ввести дополнительную неизвестную матрицу
R. Тогда к уравнению (1) добавится уравнение, определяющее матрицу R, и
порядок фильтра повысится до р (р -ф- 3) 2. Компонентами векторной
функции Н будут все компоненты векторных функций /, -hf{1) и все
независимые элементы матриц /(2>, -/гф3мфС/г1, -Pi/i1', -Р,"1(т (число
кото-
рых у каждой такой матрицы равно /; (/; I! 2). а матричная функция 1]
будет состоять из т-(-1 вертикально расположенных блоков, представляющих
собой р х /л-матрицы h, рх, . . ., р,д. Само собой разумеется, фильтр
метода нормальной аппроксимации будет в этом случае допустимым фильтром,
у которого элементы матриц а и р равны 1 и 0 в зависимости от того,
входят или не входят в соответствующие уравнения данные элементы матрицы-
столбца | и матрицы г|, а у = 0. Оптимизация коэффициентов а, Р, у в
уравнениях такого фильтра даст в общем случае лучший фильтр, чем фильтр
метода нормальной аппроксимации. Если точность такого условно
оптимального фильтра тоже окажется недостаточной, то можно снова повысить
порядок допустимых фильтров, например, добавив к уравнениям (8.13) и
(8.14) уравнения (8.9), или (8.22), или (8.26), или (8.30) при некотором
N, и ввести соответствующие дополнительные неизвестные. При этом
полученные дифференциальные уравнения будут определять вектор t/ =
[ZrS'r]T, где S - вектор, компонентами которого служат все добавленные к
Z вспомогательные переменные, а оптимальная оценка вектора Z определится
формулой Z = AU, где А - [/^0] (как всегда, в таких случаях 0
представляет собой матрицу, все элементы которой равны нулю). Эти
соображения приводят к следующей общей схеме построения классов
допустимых фильтров [64 - 66].
Задаются порядок N ^ р фильтров, постоянная pxN-матрица А ранга р,
функция ?(г/, и, i), значения которой представ-
534 гл. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
ляют собой гх 1-матрицы, функция ц(у, и, t), значения которой
представляют собой s X m-матрицы, и дифференциальное уравнение
** dU = al(Y, U, t)dt + Qx\(Y, U, t)dY + ydt (2)
при любых функциях времени а, р, у в качестве коэффициентов (очевидно, а
представляет собой N X г-матрицу, Р-N X s-матрицу, а у - Nx 1 -матрицу).
Оценка вектора Z определяется формулой Z = AU. В частном случае N = p,
А=1р уравнение {2) имеет вид (1). Выбирать функции ? и т] на основе
уравнений субопти-мальной фильтрации предложено в [24].
9.1.3. Классы допустимых фильтров при автокоррелированной помехе в
наблюдениях. Как было показано в п. 7.1.6, в случае, когда помеха в
наблюдениях получается в результате преобразования белого шума
формирующим фильтром, задачи фильтрации и экстраполяции приводятся к
уравнениям (7.5) и (7.6) при фу н=0. В таком случае теория оптимальной
фильтрации неприменима. Однако из результатов п. 7.2.12 и пп. 7.3.4 -
7.3.7 следует, что в некоторых случаях задачи фильтрации и экстраполяции
приводятся к случаю белого шума в наблюдениях преобразованием
наблюдаемого сигнала системой, обратной формирующему фильтру, или
дифференцированием уравнения наблюдения.
В соответствии с этими результатами и в теории условно оптимальной
фильтрации будем вводить в уравнения допустимых фильтров производные
