Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
апостериорной ковариационной матрице ошибки. В уравнениях фильтров низких
порядковАматрица /?Дскорее играет роль вспомогательной переменной.
ЗАДАЧИ
8.1. Пользуясь нормальной аппроксимацией, найти алгоритмы оценивания
состояния систем в задачах 6.10, 6.12-6.16 по результатам наблюдения
величины Z с аддитивной помехой, представляющей собой нормально
распределенный белый шум, независимый от V.
8.2. Найти субоптимальный фильтр для процесса в задаче 8.1 в случае,
когда аддитивная помеха в наблюдениях представляет собой нормально
распределенную случайную функцию с одной из типовых ковариационных
функций п. 4.1.5.
8.3. Найти субоптимальные фильтры для оценивания: а) координат частицы,
совершающей брауново движение в силовом поле, при известных А, е, v, б)
координат частицы и неизвестных параметров А, е, v методами нормальной
аппроксимации, моментов, семиинвариантов, квазимоментов, а также
обобщенным фильтром Калмана - Бьюси, модифицированным фильтром второго
порядка и гауссовы,м фильтром. Указание. Движение частицы описывается
уравнениями примера 5.16 при п=3 и постоянной обобщенной массе A(q) = A.
8.4. В условиях задачи 7.11 найти субоптимальные фильтры для обработки
показаний измерительного прибора с одновременным оцениванием параметров D
и а в выражении спектральной плотности вертикальной составляющей вектора
скорости ветра:
а) фильтр метода нормальной аппроксимации;
б) фильтры методов моментов, семиинвариантов и квазимоментов с учетом
этих характеристик до четвертого порядка;
в) обобщенный фильтр Калмана - Бьюси, модифицированный фильтр второго
порядка, гауссов фильтр.
ГЛАВА 9
УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
§ 9Л. Задачи условно оптимальной фильтрации и экстраполяции
ЭЛЛ. Основная идея условно оптимальной фильтрации. Практическое
применение приближенных методов оптимальной фильтрации ограничивается
высоким порядком фильтров, особенно в задачах большой размерности, в
которых даже применение простейшего метода нормальной аппроксимации и
методов § 8.3 приводит к необходимости интегрировать систему уравнений
высокого порядка (см. табл. 2 на с. 411). Поэтому единственным способом
получения практически реализуемых фильтров в задачах большой размерности
является понижение порядка фильтров. Чтобы понять, как это может быть
достигнуто, проанализируем структуру уравнения для субоптимальной оценки
в методах гл. 8. Легко видеть, что все эти методы дают для оценки Z
уравнение вида
dZ - аЕ(У, Z, t)dt + $r\{Y, Z, t)dY + ydt, (1)
где ?(У, Z, t), т)(У, Z, t) - некоторые функции текущих значений
наблюдаемого процесса Y, оценки Z и времени t, а а, (3 и у - некоторые
функции времени. То, что они становятся известными вместе с R только
после интегрирования полной системы уравнений, определяющей все
неизвестные параметры функции р* (д; В), аппроксимирующей апостериорную
плотность pt (г), для дальнейших рассуждений не имеет значения. Так,
например, в методе нормальной аппроксимации Е = [/!т-ТЛТ]Т, т] = Л.
Соответственно, коэффициент а имеет блочную структуру а = [1р1р\! где 1р-
единственная /? X/7-матрица, $ = 1р, у = 0. Чтобы определить функцию ? в
методе ортогональных разложений п. 8.2.4, подставим в уравнение (8.13)
выражения
/ = /о+ 2 . 2 /VA,,
А=3 t v | = А
/ш = Аи+ 2 2
k-Z \v\-k
N
-Ло + 2 2 hvcv
А=Ь | v\=k
332 ГЛ. 9. УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И -ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
упкний /, /(1), h и перепишем это уравнение в виде
I.Z
fa ht)f\,U 2 2 (/v - Л"А>> - Л vA1*) 6 л
k = з | v | = k V
- V X К1^сл.с
к, 1 = 3 | v \ = k I H 1 = -'
dt + \h0-\-y Y hxcx)dY
k= 3 1 v | = A
Отсюда видно, что компонентами векторной функции t в этом случае служат
все компоненты р-мерных векторных функций
- Ли/о1 \ /v, ~hfv\ -Kfa \ - Kf(tm) (! V I, |p 1 = 3, ..., N) и
соответственно матрица а состоит из горизонтально расположенных
диагональных блоков, первые два из которых представляют собой единичную
матрицу Iр, а остальные - произведения Iр на соответствующие коэффициенты
сх или на произведения cvcM. Если некоторые компоненты векторных функций
/0, -h,0f(o\ /v, -КД1*,
- KfY, -hyf'ff' не зависят от Z, то линейную комбинацию этих компонент с
соответствующими столбцами матрицы а можно выделить и принять за вектор у
в (1). Матричная функция ц представляет собой блочную матрицу, состоящую
из всех расположенных по вертикали рх/л-матриц ha, hx (I v| = 3, . . .,
N), а матрица [1 состоит из горизонтально расположенных блоков, первый из
которых представляет собой единичную матрицу Iр, а остальные -
произведения / на соответствующие коэффициентысх (| v| = 3, N).
Аналогично можно привести к виду (1) уравнение (8.13) и при применении
метода моментов или метода семиинвариантов.
Если бы коэффициенты ос, р, у в (1) были известными функциями времени, то
уравнение (1) определило бы фильтр того же порядка р, что и второе
уравнение (8.1), описывающее поведение системы. Поэтому естественно
возникает мысль попытаться непосредственно определить коэффициенты а, |3,
