Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
центральные моменты четвертого порядка их выражениями через элементы
ковариационной матрицы R, соответствующими нормальному распределению.
Тогда, принимая во внимание, что для нормального апостериорного
распределения (ТВ, пример 4.34)
М [(Zr- Zr) (Zs - Zs) (Zk - Zk) (Z-Zy j Y'to] =
= №-: RnRsr- PrlRs,' получим в уравнении (71) дополнительные слагаемые
у Wzz(Z, ty. Я] Vj Wzz(Z, t): /?]ту
X t)RkrRlf-r-
dzbdzi ' ' 1 ozrdzs v ' !
k, l, r. S- 1
-T- X Rkm^(Z,t)W^7) (t) [X-4l(Z, t)-k,l= 1 K I
Y'i (Z, I): R
где Rk - k-й столбец матрицы R. Полученный таким путем фильтр называется
гауссовым фильтром.
Пример 14. В задачах примеров 12 и 13 гауссов фильтр совпадает с фильтром
второго порядка вследствие того, что функции фх и ф' линейны и их вторые
производные равны нулю.
8.3.5. Априорная оценка точности фильтрации. Все субопти-мальные
фильтры, получаемые методами §§8.1-8.3, описываются стохастическими
дифференциальными уравнениями, которым удовлетворяют оценка Z и
вспомогательные переменные, которые мы объединим в вектор S. Компонентами
вектора _S в уравнениях метода нормальной аппроксимации (2), (3), в
уравнениях обобщенного фильтра Калмана - Бьюси (61), (62) или (65), (66),
в уравнениях фильтра второго порядка (70), (71) и в уравнениях гауссова
фильтра служат независимые элементы матрицы R. Компонентами вектора S в
уравнениях (9) или (13), (14), (22) метода моментов служат все моменты от
второго до N-го порядков, в уравнениях (13), (14), (26) метода
семиинвариантов - все семиинварианты от второго до N-го порядков, в
уравнениях (13), (14) и (30) метода ортогональных разложений (в
частности, метода квазимоментов) - независимые элементы матрицы R и
коэффициенты су (| v j = 3, . . ., N) отрезка ортогонального разложения
(12), аппроксимирующего апостериорную плотность pt(z).
Если подставить в уравнение приближенно оптимального фильтра выражение dY
из первого уравнения (1), то уравнения фильтра вместе с уравнениями (1)
будут представлять собой систему стохастических дифференциальных
уравнений, определяю-
s 8.3. .МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА УПРОЩЕНИИ УРАВНЕНИИ 'PQ
щую составной векторный случайный процесс [У (/)г Z (/) г Z (/)1 S(/)T]r.
Для этой системы уравнений можно написать уравнение (5.38), определяющее
одномерную характеристическую функцию, т. е. одномерное распределение
процесса [K(/)rZ(/)' Z(t)' S(^)T]T. Зная это распределение, можно найти
совместное распределение Zt и Zi и средний квадрат ошибки фильтрации M\Z
- Z |2 и доверительные области для вектора Z при любом 1 ^ /0. Таким
образом, уравнение (5.38), соответствующее уравнениям фильтра,
рассматриваемым совместно с уравнениями системы и наблюдения,
принципиально точно определяет безусловное математическое ожидание
квадрата модуля ошибки, которое характеризует точность фильтрации.
1Методы §§ 6.4 - 6.7 дают возможность решать уравнение (5.38) с любой
степенью точности. Поэтому точность любого субоптимального фильтра и
вообще любого фильтра, описываемого стохастическими дифференциальными
уравнениями, можно априорно оценить методами §§6.4- 6.7. При этом
точность фильтрации можно характеризовать как средним квадратом ошибки,
так и доверительными областями, которые всегда можно определить, зная
совместное распределение Z и Z. Вычисления, необходимые для такой оценки,
конечно, очень сложны. Но они не включают результатов наблюдений, и для
их выполнения необходимы только априорные данные. Поэтому эти вычисления
приходится выполнять для каждого фильтра только один раз.
Имея возможность априорно оценивать точность любого метода приближенно
оптимальной (субоптимальной) фильтрации, можно выбрать подходящий фильтр
для каждой конкретной задачи заранее в процессе проектирования фильтра
или алгоритма, фильтрации.
Полезно заметить, что матрица R в уравнениях субоптималь-иых фильтров
может и не быть близкой к апостериорной ковариационной матрице ошибки
фильтрации. Конечно, можно рассчитывать на то, что при достаточно большом
N методы моментов, семиинвариантов и квазимоментов (или более общий метод
ортогональных разложений), изложенные в § 8.2, позволят приблизиться к
решению задачи оптимальной фильтрации с любой степенью точности При этом
матрица R будет близка к апостериорной ковариационной матрице ошибки и
будет характеризовать апостериорную точность фильтрации при данных
результатах наблюдений. Однако это не дает возможности оценивать точность
фильтрации заранее. Вычислять апостериорную ковариационную матрицу ошибки
R можно каждый раз только в процессе фильтрации. Кроме того, как уже
неоднократно отмечалось, повышение порядка фильтра, особенно в
многомерных задачах, приводит к невозможности реализации фильтра. Поэтому
возможности методов § 8.2 не могут быть практически использо-
530
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
ваны для апостериорной оценки точности фильтрации. Пользуясь же фильтрами
невысоких порядков, нельзя рассчитывать на близость матрицы R к
