Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
при принятых предположениях, подставив в них выражения
сс(2, t) = ср (Z, /) щ. (Z, t)!(z - Z), дд(г, /) = cp1(Z, 0 -f Tu- (Z,
t)T(z-Z), фkl{z, /) = ф^(2, /)Ч-фш(2, t)T(z-2)
(k=\, . . ., /г, /= 1, . . ., v)
и отбросив получившийся в результате в качестве коэффициента при dY-ф idt
= dY-cpi (Z, t)dt третий центральный момент, ко-
s 8 3. МЕТОДЫ. ОСНОВ АННЫЕ НА УПРОЩЕНИИ УРАВНЕНИЙ 525
торый должен быть малым, если система (64) близка к линейной. Этот второй
путь предпочтительнее, так как он дает возможность строить более точные
фильтры, учитывая члены высших порядков малости.
Обобщенный фильтр Калмана - Бьюси иногда называют также фильтром первого
порядка, поскольку он основан на учете только членов первого порядка
малости в разложении функций в ряд Тейлора. Конечно, слово "порядок"
понимается в данном случае не как порядок системы дифференциальных
уравнений, описывающей фильтр.
Пример 10. В задаче примера 1,
V^X^Z-i Vt, Z = -Z3~ZVь обобщенный фильтр Калмана - Бьюси описывается
уравнениями
i = -Z*-'-X71R (X - Z), R ~ - 6Z2R VlZ'2 - v_7 lR-.
Пример 11. В задаче примера 2,
V=X=Z+V2, Z = - Ze-fVy, 0=0, обобщенный фильтр Калмана - Бьюси
описывается уравнениями
i= - Z&p-x^RniX - Z), 0 \±1Ri2 (X -Z),
Rn - -2 (0#u T ZR12) - vi 1^?n + vi,
Rl-2- 0^2 ZR22 T-2 ^11^12) R-22- ^12^22-
8.3.3. Фильтры второго порядка.
> Учитывая члены второй степени относительно г-Z, будем иметь *)
ф(2, 0"ф(2, l) + yz(Z, ty (г-Z) т у <.pzz (Z, t): (г-Z) (гт-Z'), Cfi(2,
t) " Cfi (Z, t) + фхг (Z, ty{z-Z) +
-r{<fy2(2, ty. (z - Z)(2T - ZT),
ф(г, t)&${Z, l)-'r
P P
+ 0(z*-2*) + | ^^(Z, /)(2a-Za)(z4-^).
Вычислим для этого случая по отдельности в°е слагаемые в правых частях
формул (7.21) и (7.25), которые при принятых
*) Здесь используется обозначение (3.63), согласно которому ф22 (Z, t):
(z-Z~)(ZT-ZT)=[tr{(pl22(Z, 0(2-2) (zT-ZT)}...tr{qw2 (Z,l)(z-Z)(zr-F)}Y.
526
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
допущениях имеют вид
dZ^^dt + M[Z{^(Z, (67)
rftf = {M[(Z-Z)<p(Z, /)т + ф (Z, /)(ZT-Zr) +
+ (^4^'T)(Z, t)\Y\o]-M[Z{^(Z, ty-- Ф!} I Н0] (ФЛ'ЖТ) (t) M [{(Pi (Z, 0 -
Фх} ZT I У^]} dt + -fJW[(Z -Z)(ZT-^{(FxfZ, /)T_
- Ф1} I №vs4tt)_1(0(^ -9i*)- (68)
В результате будем иметь
Ф"Ф(2, 0+4гф"(2. /): R,
M[Z{9l(Z, /)х_фт}(гу = = M [(Z-Z) {фх (Z, /)т - ф*}|УУ" ^ф1г(2, о, M [(Z-
Z) Ф (Z, /) г I yy " R(fz (Z, t),
м[(фЧ^'т)(^, /)|Уу "(фЧф'т)(^. /) +
+
t {ЛгА 'Ьтяг^ ') + 4J3);(z, О-Иг, >p +
1&A
= (фЧф'т) (Z, /) + y[^2(Z, /): ^]vxT|3'(Z, 01
T4>'(Z. Ovgg;(Z, <)}",,=
+ yV(2, 0^№г(2,0: 7?]r+ E t)Ru,
k, t=i x k 1 '
M [(Z-Z) (Z*-Z') {Tlr(Z, О -ФхЛ | yy "
~ Y о {M [(2-Z) (ZT-ZT) (Z*-Z*) X
X (Z,-^) I y?J-/?""}. (69)
Если в последнем выражении пренебречь центральными моментами четвертого
порядка, то неизбежно придется пренебречь и произведением моментов
второго порядка RRkl, так как в силу известного неравенства теории
вероятностей (ТВ, п. 3.3.4)
Rh = {M [(Zk Zk) (Zt-Zt) I У)0] }2 < M [(Zk-Zuy (Zt-Ztf I ry.
Таким образом, последним слагаемым в правой части уравнения (68) следует
пренебречь. Тогда, подставив полученные вы-
§ 8.3. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА УПРОЩЕНИИ УРАВНЕНИЯ 527
ражения в (67) и (68), приходим к уравнениям i = cp(Z, r) + ycp"(Z, /):
R-ф
+ Rq>u(Z, ^)№v,T4T)_1(^)[^ - 4>i(Z, t)-Y<Pnz(Z, t)- R], (70)
R = R<pz(Z, 0 + T2(Z, /)т/? + (фЧФ'г)(2, t) +
+ Y [Ts (^1 ty R\vyi1'{Z,, ty -ф-у' (Z, t) Vj [фг2 (Z, ty /?] r -7-
- Rq>u(Z, < (71
Фильтр, определяемый уравнениями (70) и (71), обычно называется
модифицированным фильтром второго порядка. В отличие от этого фильтра,
усеченным фильтром второго порядка называется фильтр, который получается,
если, пренебрегая моментами четвертого порядка в фигурных скобках в (69),
учесть слагаемое-RRkl- Как было показано, этого нельзя делать, так как
это может привести к изменению знака слагаемых в уравнении (68).
Неудивительно поэтому, что в задачах практики усеченный фильтр второго
порядка дает плохие результаты. Поэтому мы будем рассматривать только
модифицированные фильтры второго порядка и называть их просто фильтрами
второго порядка.
Пример 12. В задаче примера 1,
K = X = Z4-Z3, Z = - Z3-fZl/b уравнения фильтра второго порядка (70),
(71) имеют вид
Z = -Z3-3ZRUrVi1R(X - Z), R=-6Z2R-rv1(Z!1d-R)-V21R^.
Пример 13. В задаче примера 2,
Y = X^Z~V,, Z=-Ze + Vu 0=0, равнения фильтра второго порядка (70), (71)
имеют вид
Z = - Z0 - R12 4-v3 хЯи {X - Z), 0 = v-2 {X - Z),
Rn = -2 (ёяи + ZR12) - v^Ru + vb
Rl 2 = & R [-2 Z R'22 v2 ^RllRll,
R 22 = V2 1^?12^22-
8.3.4. Гауссов фильтр. Точность приближения фильтра второго порядка к
оптимальному можно повысить, если, оставаясь в рамках второго приближения
в разложениях функций ф, ф* и ф в ряд Тейлора, сохранить в уравнении (68)
слагаемые с центральными моментами четвертого порядка в коэффициенте при
dY-фxdt и в выражении фмфт. При этом естественно, предполагая систему
близкой к линейной и, как следствие этого, апостериорное рас"
528
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФПЛЫРА'ШЯ
пределение вектора ее состояния близким к нормальному, заменить
