Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
8.3.1. Способы упрощения уравнений оптимальной фильтрации.
Теперь изучим другие методы получения субоптимальных фильтров. Первые
попытки распространить линейную фильтрацию Калмана на нелинейные системы,
естественно, основаны на линеаризации уравнений (1). Наиболее удачными
следует признать два способа линеаризации уравнений (1). Первый способ
основан на линеаризации уравнений (1) относительно вектора состояния Z в
окрестности его оценки Z. Этот способ приводит к так называемому
обобщенному фильтру Калмана-Бьюси. Другой способ основан на
статистической линеаризации уравнений (1). В обоих случаях порядок
фильтра равен p(p-f3)/2 вместо р в случае линейных уравнений (1)*). Это
происходит из-за того, что уравнение для R в этих случаях зависит от
результатов наблюдений, вследствие чего это уравнение не может быть
заранее проинтегрировано отдельно и его приходится интегрировать
совместно с уравнением для оценки Z.
Желание повысить точность оценивания вектора состояния системы Z ведет к
различным попыткам получить из (7.21) и (7.25)
*) Число уравнений первого порядка в системе уравнений фильтра называется
порядком фильтра.
"8.3. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА УПРОЩЕНИИ УРАВНЕНИЙ 523
замкнутые приближенные уравнения для Z и R с помощью разложения в ряд
функций ср(у, z, t), фl(y, z, t) и ф(г/, z, t) относительно z и
отбрасывания членов высших степеней, которые не могут быть выражены через
Z и R. Все методы, полученные таким способом, дают фильтры того же
порядка, что и метод нормальной аппроксимации.
8.3.2. Обобщенный фильтр Калмана - Бьюси. Естественно возникает мысль
применить для приближенного решения задач нелинейной фильтрации теорию
линейной фильтрации к линеаризованной системе. Конечно, при этом
возникает вопрос: в окрестности какой функции z (t) производить
линеаризацию уравнений системы (1)? Ясно, что однозначного ответа на этот
вопрос быть не может. Однако стало общепринятым линеаризовать уравнения в
окрестности неизвестной оценки Z(t). При этом придется линеаризовать
только коэффициенты при at в (1), т. е. функции Ф {у, z, t) и фДг/, z, t)
относительно г, а функцию ф(г/, z, t) принять равной ф (г/, Zt, t), так
как если этого не сделать, то второе уравнение (1) не будет линейным
относительно Z и dW.
> На основании приведенных рассуждений заменим уравнения (1)
приближенными уравнениями
dK=[q>i(K, Z, ^) + ф!г(К, Z, ty (Z-Z)]dt + яД (К, t)dW,
dZ=[<p(Y, Z, t)-\ <pz(Y, I ty(Z-Z)]dt + y(Y, Z, t)dW,
где фz(y, z, t) и Ф1г(г/, z, t) - как всегда, матрицы производных
компонент векторных функций ф и ф! по компонентам вектора z,
Фг (У, 2, t) - "^Ф (i/, z, ty, фlz(y, z, 0 = z, ty.
Если рассматривать оценку Z как известную функцию времени t, то
полученные уравнения представляют собой частный случай уравнений (7.41),
для которых задача оптимальной фильтрации была решена в [49] (п. 7.3.9).
Оптимальная оценка Z и апостериорная ковариационная матрица R ошибки в
этом случае определяются уравнениями (7.43) и (7.44) при
a(Y, t)Z + a0(Y, t) = <p(Y, Z, t) + yz(Y, Z, ty(Z-Z), b(Y, t)Z + b0(Y, t)
= фДГ, Z, t) + <plz(Y, Z, ty(Z-Z).
Подставив эти выражения в (7.43) и (7.44), получим приближенные уравнения
для Z и R:
dZ = 9(r, Z, t)dt+h(Y, Z, R, t)[dY-(pAY, Z, t)dt], (61)
dR = {(pz(Y, Z, tyR + R<pAY, Z, г) + (фУфт)(Г, Z, t)-
- h(Y, Z, R, Л(ф^)(Г, t)h(Y, Z, R, ty}dt, (62)
524
ГЛ. 8. СУБОПТИМЛЛЬНЛЯ ФИЛЬТРАЦИИ
где
h(Y,Z, R, /) = {Яфи(^. Z, 0-!М^1)(Г, Z, r)}(^v^I)-i(r, /). <
(63)
Уравнения (61) и (62) определяют фильтр, обычно называемый обобщенным
фильтром Калмана - Быоси.
Так же, как и уравнения (7.43) и (7.44), уравнения (61) и (62) должны
интегрироваться совместно при начальных условиях Z(/0) = Z0 = M [Z0|K0],
А:(/..) . '.! [(Z0-Z0)(ZS-Z5)|K0]. Таким
образом, обобщенный фильтр Калмана - Бьюси имеет порядок р(р~ 3)/2, тот
же, что и приближенно оптимальный фильтр метода нормальной аппроксимации
апостериорного распределения п. 8.1.3.
В приложениях обычно рассматривается более простая задача, когда функции
ср, ф, срх и фд в уравнениях (1) не зависят от V и процесс W (/) состоит
из двух независимых блоков, один из которых входит только в первое, а
другой-только во второе уравнение (1). В этом случае ф = [ф' 0], tjy [0
фд], W = [1К]ЖТ]г, так что
фсЛТ' = фббШ1,
г|д dW = ф( dW.,, фмфг = ф'у1ф'г, ф\-ф] = 0, фг^ф] = ф]мд|дт.
Уравнения (1) при этом принимают вид
Z = ср (Z, /) T'(Z, t)Vu X = K = cp1(Z, /) б-ф.;(МУ2. (64)
Эти уравнения сводятся в результате линеаризации функций д,
дд и замены Z в выражении ф' оценкой Z к уравнениям (7-.33) задачи
Калмана - Бьюси. Уравнения (61) и (62) обобщенного фильтра Калмана -
Бьюси принимают в этом случае вид
Z = ф (Z, t) - А?д1г (Z, /)(ф1Уд|ф)-1(/)[Х-сР1 (Z, /)], (65)
Я = ЧФ (2, tf R ~ /?срг (Z, /) -г (фмхф1) (Z, /) -
-/?ддг (Z, /) (ф1\',\1.ф)-1 (/) ф1г (Z, /)Г R. (66)
В таком виде уравнения обобщенного фильтра Калмана - Бьюси обычно и
применяются в задачах практики.
Уравнения (65) и (66) можно также вывести из общих формул (7.21) и (7.25)
