Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
y(t) = Ax(t).
Эта краткая запись включает всю совокупность математических операций,
которые надо выполнить над функцией x{t), чтобы определить функцию y(t).
Детерминированная система называется физически возможной, если значение
ее выходного сигнала у (t) в каждый момент t не зависит от значений
входного сигнала х(х) при т >С Таким образом, значение выходного сигнала
физически возможной системы y(t) в каждый момент t является функционалом
от входного сигнала х(т), заданного в интервале t0 ф г <С / *).
Стохастическая систем1, называется физически возможной, если
распределение значения ее выходного сигнала Y (t) в любой момент t не
зависит от значений входного сигнала х (т) при т > t.
Детерминированная система называется устойчивой в данном режиме, если
изменение А у (г) ее выходного сигнала y(t) в этом режиме остается сколь
угодно малым при любом достаточно малом изменении Ax(t) входного сигнала
x(t). Иными словами,
*) Строго говоря, у (t) представляет собой m-мерный вектор, компоненты
которого являются функционалами от х (х), х С- Для ^краткости мы называем
векторную величину у (t) функционалом, имея в виду m-мерный "векторный"
функционал.
§1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
27
детерминированная система называется устойчивой в данном режиме, если
при любом е > 0 для данного режима существует
такое 6=6 (е) > 0, что | Ау (7)| < е при всех t > t0, когда |
Дх(7)| < 6
при всех t ^ t0 *).
Стохастическая система называется устойчивой в данном режиме почти
наверное (с вероятностью 1), если изменение ее выходного сигнала ДY (г) в
этом режиме сколь угодно мало с вероятностью 1 при любом достаточно малом
изменении входного сигнала Дx(t).
Стохастическая система называется устойчивой в данном режиме по
вероятности, если при любом е > 0 существует такое 6 = 6 (е) > 0, что
lim Р ( sup | ДY (t) | > к\ = О
t -* =0 \t > t о /
при всех Дx(i), удовлетворяющих условию sup \Ax(t)\ <6.
t > ta
Стохастическая система называется устойчивой в данном режиме в р-среднем,
р > 0, если математическое ожидание М [ ДУ (7) \р в этом режиме остается
сколь угодно малым при всех достаточно малых изменениях входного сигнала
Дx(t).
Из известного неравенства Чебышева (ТВ, п. 6.1.3)
Р (] AY | > е) < М | ДУ |Р/гР
следует, что стохастическая система устойчива по вероятности, если она
устойчива в р-среднем. Точно так же из устойчивости почти наверное
вытекает устойчивость по вероятности. Из р-устойчивосп:и при данном р
следует p-устойчивость при всех меньших р. Обратное в общем случае
неверно.
Говоря об устойчивости системы, в задачах практики всегда имеют в виду
устойчивость всех реализаций происходящих в ней процессов. С этой точки
зрения наибольшее значение для приложений имеет понятие устойчивости
почти наверное. Однако в задачах практики часто приходится ограничиваться
устойчивостью в среднем (р- 1) или в среднем квадратическом (р = 2).
Класс систем, устойчивых в среднем квадратическом, и класс систем,
устойчивых почти наверное, являются подклассами класса
*) В случае векторных х и у модуль понимается как модуль (евклидова
норма) вектора, т. е.
2**' 2 у*-
г k=l t k=\
Это определение устойчивости не совпадает с определением устойчивости
решения дифференциального уравнения. Физически возможная дифференциальная
система устойчива в данном режиме тогда и только тогда, когда
соответствующее решение ее дифференциального уравнения асимптотически
устойчиво по Ляпунову [52, 48].
28
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
систем, устойчивых по вероятности, причем оба эти подкласса имеют
непустое пересечение.
1.2.2. Линейные и нелинейные системы. Детерминированная система
называется линейной, если при любых числах N, си ...
. . ., cN и при любых функциях x1{t), • • •, XAr(t)
IN } N
А , 2 cvxy(t) ( = 2 cvAxv(t). (1>
( V= 1 ) V - I
Это определяющее свойство линейных систем обычно называется принципом
суперпозиции. Поэтому линейные системы можно определить как такие
системы, для которых справедлив принцип, суперпозиции.
Оператор А, обладающий свойством (1), называется линейным. Таким образом,
детерминированная система линейна тогда и только тогда, когда ее оператор
линеен.
Для того чтобы система была линейной, необходимо и достаточно выполнение
следующих двух условий:
1) при суммировании любых двух входных сигналов соответствующие выходные
сигналы суммируются;
2) при любом усилении входного сигнала без изменения его формы выходной
сигнал усиливается с тем же коэффициентом, тоже не изменяя своей формы.
Необходимость этих условий очевидна. Так как формула (1) справедлива для
любого N и любых чисел с}, ..., сЛ,, то, полагая N = 2, с1 = с.2= 1,
получаем
A {x^t) Д x2(t)} = Ax^t) Д Ax2{t). (2)
Полагая N = 1, получим при произвольных с и x(t)
A {cx{t)} -cAx(t). (3)
Для доказательства достаточности условий (2) и (3) заметим, что из этих
условий вытекают формулы
А {сд, (t) + с2х2 (/)} = А {щлу (/)} А {с2х2 (/)} =
=-г1Лх1(/)т-с2.4х2(/), (4)
( N |
