Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
обязательно четное).
8.2.7. Эллипсоидальная аппроксимация апостериорного распределения.
Применим метод эллипсоидальной аппроксимации для приближенного решения
задачи оптимальной нелинейной фильтрации. Для этого аппроксимируем
апостериорную плотность pt(z) формулой
г ,v
Pt (z) = Р* (z; 9) = wy {и) 1 +2cv/?v("), и = (zT-ZT) С (z - Z),
v= 2
(35)
где С-матрица, обратная по отношению к ковариационной матрице ошибки
фильтрации R, C - R~1.
На основании формулы (6.97)
Чтобы найти стохастический дифференциал сх, применим формулу Ито (3.61),
учитывая, что сх представляет собой функцию трех случайных процессов
Z(t), R(t), gt(h), стохастические дифференциалы Ито которых определяются
формулами (27), (28) и (7.16). В результате получим уравнение (30),
которое на основания равенства qx(a) = Mqx(U) перепишем в виде
dcK = {Fx + ? М fs + ? ^ М +
L М hs^v№ + } t М +
s, и= 1 acsOi.и S, и, к, 1=1
§8.2. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ 519
+ Z M 6JXdY hs^l^Wkl \ М +
S.k,l= 1 oZsdRki J
X + Z M d-^-hs+ Z t M - +" [' (dY-Г dt).
Вычислим входящие сюда математические ожидания производных полинома
qx(U). Совершенно так же, как в п. 6.7.2, находим
м = М(?; {Ц) dU = /И(?, {и) ( 2 ? ^ {Z_Zj) | = 0_ (36)
dZs ^ ;.= 1
Далее находим М dW)
=м
dZsdZu
/ Р \ f JL
(37)
4<?; (U) ^ 2 cuj (Z,-Z,) ) '^2 cSJ (Z,-Zj)j + 2q'K (U) Csu
Таким же путем, как в п. 6.7.2, находим
Mq* (U) С (Z-Z) (ZT -ZT) С =
(г N е 1
= <j\)qx{tl)tlPj2wi(tl)du+'^d cv-| ^ qii(u)pv{u)uP/iw1(u)du}C, (38)
VO V=2 О J
где нормирующий множитель а определяется соотношением (6.110). Вводя
обозначения
¦[як(и)ир/2Щ(и)йи, lm = ^-\q"K{u)pv{u)uP'2-JL\(u)du (39)
J г "У
00
s _ SL sxo- р
О о
и заметив, что вследствие орюгональности pv (и) ко всем функциям ик при К
< v величина обращается в нуль при v > х-1, получаем
Mq^(U)C(Z-Z)(Z'-Z-)C = \ ?я0 + 2 Cvfev )С. (40)
\ v=2
На основании (40)
4Л+,;(Н)( 2cttJ(Zj-Zj)\( 2+,(z,-zf)) = 4if|,0- 2'
V=i : \/= 1 / \ v=2 у
(41)
Математическое ожидание во втором слагаемом в (37) определяется формулой
N
Mq'y. (it) = J <7;(н)нр/2-1ш1(н)
1+2 CvPv (u)
V= 2
du. (42)
Ь20
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРА!
Вводя обозначения
со 00
Схо = Д qy{u)up2-1w1(u)du, ^ул, = а[ q'K{u) pv (и) и*12-'ш\ (и) du о
о
(43)
и заметив, что вследствие ортогональности pv (и) ко всем функциям ик при
к < v величина t,yv обращается в нуль при v> х-1, получаем
х- 1
MqK {Id) - ?хо "г 2 ^vbxv (44 )
V- 2
На основании (41) и (44) формула (37) принимает вид
м ДДД=2 ( ^ <v:- '?- (45j
dZsoZn V-2
где для краткости положено
txO " 2^X0 у- dxO" dxv ~ 2-XV -j- ?xv.
Вычисление производных dqK(U)/dRsu ничем не отличается от аналогичных
вычислений в п. 6.7.2. В результате получаем
dqy (U)I ( Д \
М gRss~~ = -css[4v. oH-^CvYxv) (46)
и
м =~2с*и (7*° 1 ДCvVxv) * s Ф и' ^47)
где ух0, 7x2, ••¦> 7хх определяются формулами (6.112).
Дифференцируя эти формулы по компонентам вектора Z и элементам матрицы R
и имея в виду, что (п. 6.7.2)
dcjj dcjj
dW7r = _ CriCri' $R7s = - (Cr'Csf -- csicГ)),
получаем
d2q (U)
М * =0 (/г, s, н = i ...,/?), (48)
714 dRss'dRrr = Д° + Д CvTl:v ' ' (49)
<Э2о (?/) ' * \
М др ~ = 2c'As i 7хо + 2 cv7xv !, k?=l, (50)
OKssOKki \ v=2
^4 = 2 (с/г^с1"+ .C/5CA") 7x0+ 2 Cv7xv) , s?=u, /г=ф=/. (51)
'2 .МЕТОДЫ ОСНОВАННЫЕ НА ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ 52J
Подставив выражения (36), (45) - (51) в уравнение для стохастического
дифференциала величины с.л, приведем его к виду
dcK = { -, уу0 + 2 cvуУЛ, ) tr [С (/(2) - /гфрДф/г1)] +
{ \ V- 2 /
х - I \
-Г +.0 0-2 Cv+v )tr [C/tlhVtK/t'J-r
"\ v=2 J
t T i Txo -T- Z cvTxv ! Z A s"kins,$ivVi4h I dt -r
v= 2
H* - i 7ko
, u, k. I -¦ 1
+ 2 сху.ул,\ У cs,j]su,(dY - kvdt) (52)
v= 2 .c, и- 1 )
(x-2, ...,.?),
55ГГ ^TS* " ^LkSLlSl
A rcbf 2Си Xt
кф1,
A sukl - 2(c,,5C(" 'rcisckn)> $фи, k=j?=l,
(53)
cs" - элементы матрицы С, определяемой формулой (6.113).
Формулы (15) - (19) для f, /(1), /(2), h и рГ при аппроксимации (35)
апостериорной плотности принимают вид
f-f(Y, О, /)== \ <f(K, г, t)wt(u)
N
V
РТ' = /<Н(К, 0, 0= <Pi(^, г, t)Wi{u)
i + 2 +pv (")
v = 2 A
1 -i - 2 cvpv (U)
dz, (54) dz, (55)
= /<2> [Y, 0, )- \ [(z-Z)(f(K, z, t)T + y(Y, z, /)(zr-Z')-
-j-(фуфт) (Г, г, t)\w1{u)
1 7- 2 CvPv Д)
dz, (56)
h = h{Y, 0, t)=^ [z<h(Y, z, ОМ-ОМФНГ, г, /)]х
xani(u) ! 1 -f 2 cv/?v(u)
L v=2
Р, = рДГ, 0, 0= i {(2-2)(гт-ZT)ar(Y, z, t)-
-(z-Z)br(Y,z,t)T + l)r(Z i (zT - ZT)}w1(u)
N
1 + 2 CvPv (")
v= 2
dz.
(58)
522
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Формулы (31), (32) для Fx и Нх совершенно так же, как формула (6.118)
была преобразована к виду (6.119), преобразуются к виду
00
F* = F"{Y, 9, t)= $ <?*(") {2ф(Г, г, tyC(z~Z) +
¦tr [Co(Y, 2, t}\}Wi(u)
1 -p 2 CvPv (Ц)
v = 2
dz-
+ 2 \ q"(u)(zr - ZT)Ca(Y, z, t)C (z - Z)w1{u)
1 т 2 cvPv (u)
v - 2
ЯХ = ЯИ(К, в, 0 = 1 S WliY, 2, tyq^w^u) V -
1 + 2 cvPv (")
dz,
(59)
dz-f
t2 J q'K{u)(zT-ZT)C(-ipv^l){Y, z,
1 -f 2 CvPv (U)
dz - /(1) rc*|- (ф^ф1)_1(К, *). (60)
)
§ 8.3. Методы, основанные на упрощении уравнений оптимальной фильтрации
