Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
8.2.5. Метод квазимоментов. В частном случае разложений (12) по
полиномам Эрмита коэффициенты сг представляют собой квазимоменты (п.
2.3.2). В этом случае на основании формул (9) -(11) приложения 1 для
производных полиномов Эрмита ~GV формулы (31) и (32) приводятся к виду
р "
Fy = 2 v-s \ (МС 2> t)Gy^e,(z - m) p*(z; 6)dz~r s =1 - "
р (r)
6 f oss{Y, z,t)Gy...2es{z-m)p*{z\ Q)dz^-
S - 1 - 00
-7- i. 2 *3', J ол"(Г, г, t)G7^es-L,n(z - m)p*(z; Q)dz, (33)
" = 2' = > -oo
Г "
HY - { 5 fli(C 2 ty Gy\z ~ m) p* (z\ B)dz-r V - 00
p *
- 2 x5 ^ (Ф'?г|ф)(С z, t)Gy.-^(z - m)p*(z\ 0) dz -
' = i
'I
- /,1) TH<[ (УЧФГЯУ /). (34)
J
На основании формул (9), (12) и (13) приложения 1 для производных
полиномов Эрмита Gv с учетом того, что qx (z) - Gx (z - m), величины
dqy_(a)/dZs, dqK{a)/dRsn, d2qy.{<z)ldZsdZu, d'2qK(a.)/dRSIIdRkl, d2
qK(a)/dZsdRkl в этом случае пропорциональны соответствующим
квазимоментам:
фх (3:) dZs у.scу - '
dqK (a)/dRss = --i- d2qK (a)/dZl == - j x, {xs - 1) 2P,,
(<*)/dRsu = - o*qy. (a)/dZs dZu = - xyyyy-,,, о'Лх (a)/^fs = ^ x* (x5-1)
(X*- 2) (y.s- 3) c*_4Cy, d2qx(a)/dRssdRkk ух9 - l)xft (xA -
l)cy,._2(*_,v
= у X(XM ~ 1 ) (ys - 2) Х/Ск- зе,-v
d*q* (a)/dRssdRkl = 4xAxs- 1)wz-^-4-v d2qy(a)/dRsudRsl ^ xs (xs - 1)
х"хгсх-2е.,_е -e
'>8.2. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ 517
d2qK(a)/dRsndRkl = xsKl,x,ky.lcy.-es-eH-ell-el, d*qK (a)/dZs dRss = у x,
(xs - 1) (x4 - 2) 3es,
^ {(r)-)ldZs dRsi X9(x^ 1 ) '/"[Су,--2es-i'^
д-Qy. (u)/dZs dRk,t = j x,x* (xA - 1 )cy^Cs.,ek, oh',, (a)/dZsdR,;l =
KsKkY4Cy.-es-ek-ei.
Метод квазимоментов для приближенного решения задач нелинейной фильтрации
был предложен в [74].
Пример 9. Уравнения (30) для апостериорных квазнмоментов в задачах
примеров 7 и 8 совпадают с уравнениями для семиинвариантов, так как
квазимоменты до пятого порядка включительно совпадают с соответствующими
семиинвариантами (п. 2.3.3). Различие получится только при аппроксимации
/д (г) отрезком разложения по полиномам Эрмита с учетом моментов
(семиинвариантов) по меньшей мере до шестого порядка.
8.2.6. Сокращение числа уравнений. Изложенные в пп. 8.2.1 - 8.2.5
методы дают принципиальную возможность получить приближение к оптимальной
оценке с любой степенью точности. Чем выше максимальный порядок /V
учитываемых моментов, семиинвариантов или квазимоментов, тем выше будет
точность приближения к оптимальной оценке. Однако число уравнений,
определяющих параметры апостериорного распределения, быстро растет с
увеличением числа учитываемых параметров. В табл. 2 в гл. 6 (с. 411)
показана зависимость числа уравнений в системе, определяющей параметры
апостериорного распределения, от размерности р вектора состояния системы
и наивысшего порядка учитываемых моментов, семиинвариантов или
квазимоментов *). Из этой таблицы видно, что даже для вектора состояния
системы сравнительно небольшой размерности, порядка 10, число уравнений,
определяющих параметры апостериорного распределения, достигает 1000 при
учете моментов, семиинвариантов или квазимоментов до четвертого порядка.
Г1рп необходимости учета моментов, семиинвариантов или квазимоментов до
10-го порядка число уравнений достигает 1000 для четырехмерного вектора
состояния. Вследствие этого изложенные приближенные методы решения
уравнений оптимальной нелинейной фильтрации практически реализуемы только
при невысокой размерности расширенного вектора состояния системы,
включающего все переменные состояния и неизвестные параметры. Между тем
число подлежащих оцениванию неизвестных параметров во многих задачах
практики
*) Число моментов (семиинвариантов, квазимоментов) порядка г р-мер-ного
случайного вектора равно Сгрл r_i -(р-гг - 1 )!/г! (р-1)!, а полное число
моментов (семиинвариантов, квазимоментов) порядков 1, ..., N равно Ср I N
- \ - (р Jr N)'./p\N\ - 1.
518
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНЛЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
оказывается больше 100. Для таких задач практически реализуем только
метод нормальной аппроксимации апостериорного распределения. В первых
двух строках табл. 3 в гл. 6 (с. 411) показана зависимость числа
уравнений в системе, к которой приводит метод нормальной аппроксимации,
от размерности вектора состояния (расширенного) системы.
Число уравнений, приближенно определяющих апостериорное распределение
вектора состояния системы Z, может быть уменьшено тем же способом, что и
в п. 6.6.7. Этот способ основан на том, что взаимная зависимость
компонент вектора Z характеризуется только их ковариациями. Число
уравнений для параметров распределения при таком подходе показано в
последних четырех строках табл. 3 в гл. 6 (с. 411).
Однако наиболее радикальное сокращение числа уравнений для параметров
апостериорного распределения дает метод эллипсоидальной аппроксимации,
излагаемый в п. 8.2.7. Число уравнений для параметров апостериорного
распределения, к которым приводит этот метод, лишь на N/2-1 превышает
число уравнений метода нормальной аппроксимации (в этом случае N
