Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
нелинейной фильтрации был предложен в [25, 20]. Пример 7. В задаче
примеров 1 и 5,
Y--- X=Z+V2, Z = -Z3 + Zl+ при аппроксимации pt (г) отрезком разложения
по полиномам Эрмита с учетом моментов до четвертого порядка уравнения
(13), (14) и (26) имеют вид
Z = -Z(Z2-f ЗЯ) -Хз-утг'я (X-Z),
R = V, -6 (Z2 + R) R - 6Z/.3 -2х4 - v-Г 1 Я2 + (X - Z),
х3=-18Z/?2 -9 (22 + ЗЯ) х3-9Zx4 + 3vt (2Zfl + x3) - v-T1xa -[--v-rV^
(X - Z),
x4 =- \2R3 - 72ZRy.s - 12 (Z- -A 4R) x4 + 4x3 +
+ 6v4 |(Z- + 2R)R + 2Zx3 + x4] + v.+ (6/?3 -3x3 -2fix4). При
аппроксимации р/(г) рядом Эджуорта с учетом семиинвариантов до четвертого
порядка в правой части последнего уравнения добавится слагаемое 10x3-
Пример 8. В задаче примера 6,
F=X=Z+ V2, Z = - Z0 + 1+ 0 = 0,
при аппроксимации pt (г) отрезком разложения по полиномам Эрмита или
отрезком ряда Эджуорта с учетом моментов до четвертого порядка уравнения
(13), (14) и (26) имеют вид
Z ^^ZS - R12~V^RU(X-Z), Q-^vi'RuiX - Z),
Rn- -20/?ll-2Z/?12-2z21-v-71^1-hv-rV.31) (X-Z),
T?i2 --- (r)Rl2 Z R 22 - УЛ'1-v2 7?ц7?12-г V2 '^21 (X Z),
R 2 2 - Rl l +"~ v2 2 ( X - 2),
^30 - '-&RllRl2 30X:!n 3ZV,2l -'3xai ^ 7?цХзо "!" V2 X40 ( ^ -' Z),
Y.21 -- 2 (7?1i7?22 ^12) - 20X21 --2ZXi2 2X22 -
- - Vo 1^?12^30 v2 T?nX21 4" V2 X31
>'*12"--27?127?22 ~~ 0*^1 2-ZX(,3 - Vo T?i2X2l-X13 - V2 ^11><12"ГУ^
X22(^ Z).
^03"----2" V'2 ^*2^12 "1" v2 *13 (*-Z),
K40 - 12 (7? 4 2X30 R\ \ 'Y-2\) - ^ (0X4O -j- ZX31) -+ 2V3 Rn (37?ц
X4()) >
^31 "---3/^22^39 -- 9^12X21 - 3^nXi2 - 3 (0X3i H-Zx22) "+
+ 3v.r1+ii/?i2--7 v2"1tf12x40--'|-+1tf11x=1--|- vT
X22 ¦ 47?22X21 67?j2*12 - 27?xiXo3 2 ((c)X22 "Г ^Х13)
- v2 1 (T?i2*3i "г 7?цХ22) -|- v2 R11 (R11R22 -57?io)-*2v2 -X13 =---3
(7?22Xi2 Т?12Хоз) - (r)^13 - ^3V2 T?12 ( 7?n7?22 ~T Rl'i)
3 -1 _ l_i 3_i
-2 7? 12^22-2" v2 7?nXi3-2" v2 x21x4*.
*04 - 2v2 R12 (67? 12R 22 - *1з) - 3v2 Xi2-
514
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
8.2.4. Метод ортогональных разложений. При аппроксимации
апостериорной плотности отрезком (12) ее ортогонального разложения
естественно принять за параметры, образующие вектор 0, апостериорные
математическое ожидание Z, ковариационную матрицу R вектора Z и
коэффициенты cv (| v | = 3, . . ., N) в (12).
> Для вывода стохастических дифференциальных уравнений для коэффициентов
cv воспользуемся, как и в п. 6.6.1, формулой (2.40), выражающей сх через
характеристическую функцию gt(X):
cK = [qK {d/idX) gt (Z)]x=0.
Чтобы найти стохастический дифференциал величины сх, применим формулу Ито
(3.61), учитывая, что полином qx(z) зависит от апостериорных
математического ожидания Z и ковариационной матрицы R вектора Z.
Предварительно перепишем уравнения (13) и (14) в скалярной форме:
dZs = fsdt + hs(dY-f(tm)dt) (s=l, ..., р), (27)
dRsq = (Я? - dt + лsq (dY - f(1> dt)
(s, q= 1, ..., p), (28)
где T]J(J - матрица-строка, элементами которой служат соответ-
ствующие элементы матриц р^ ..., рт,
Ves + eq ~ tPli? • • • Рmsq\ (^> Я ^ > • • • > Р) • (^9)
Теперь по формуле Ито (3.61), учитывая (27), (28) и первое уравнение (1),
согласно которому dY = ср* dt + dW, находим •
dcx = [d {qx (d/i дХ) gt (Я)}]?.= 0 =
= 2 [dqx(d/idX)/dZs-gt(X)]i=0d2s +
S = 1
-г 2 [dqK(d/id).)ldRsu-gt(k)]}v=odRsu + [qx(d/idX)dgt(X)],^o +
S, U= 1
( P
+ \ у 21 (dI1 d^)!d^s dZu ¦ gt (^)]x= о h^vtflhl -
V S,"=l
P
+ Y 2 №'*4* (dli d):)ld^su dRki' gt о i-
s, и, k, /= 1
p ^
+ 2. [д2Я* (d/i dX)tdZs dRkl ¦ gt (Z)]?,= 0 h^v^l, \ dt.
s,k,t=l )
Подставив сюда выражения (27), (28) ;и (7.16) дифференциалов dZs, dRsq и
dgt (Z), вспомнив, что для любого полинома Р (г) [Р (d/idX)gt (Рс)]я=о =
Р ("), и почти буквально повторив выкладки
§ 8.2. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ 515
п. 6.6.1, получаем стохастические дифференциальные уравнения
Здесь через (фуф!), обозначена s-я строка матрицы Для
вывода формул (31) и (32) достаточно вычислить
с помощью формул (7.16) и (6.76), учитывая, что (фуфт) (у, г, i) = =
<*(У, z, О-
На основании формулы (12) для р*(г\ 9) функции fs, /(1>, hs, г|5г" Fx и
Н,л в уравнениях (27), (28) и (30) представляют собой линейные комбинации
величин cv (| v| = 3, . .., N) с коэффициентами, зависящими от Z и R.
Величины dqK (a)/dZs, dqK (a)/dRsa, d2qii(a)/dZsdZu, d2qx(a)/dRsudRkl,
d2q.A,{a)/dZsdRkl после замены моментов их выражениями по формуле (2.42)
тоже будут линейными комбинациями величин cv с коэффициентами, зависящими
от Z и R. Таким образом, уравнения (27), (28) и (30) представляют собой
полную систему стохастических дифференциальных уравнений, приближенно
определяющую все величины Z, R, cv (I v j = 3, ..., N), составляющие
вектор параметров 0. М
р р
где в дополнение к прежним обозначениям
Нх = Нх (Y, 0, t) = \ S cPl (Y, z, ty qH (г) р* (z; 0) dz +
( "
s= 1 - or
(32)
[qK {d/idl) gt (l)]\mo
516
Л. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
За начальные значения коэффициентов су при t = t0 следует принять
соответствующие коэффициенты ортогонального разложения условной плотности
величины Z" относительно К0.
