Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
моментов до четвертого порядка уравнения (13), (14) и (22) имеют вид
2 = - Z(Z*-\-3R)- Цз + v^1^ (X - Z),
Я = (vi - 6Z2) R - vz lR2 - 6Zps + v^Vs (X - Z) - 2p4, jio =9ZR"--9 (Ь +
3R) ц8 - 9Z|X45-3vj. (2ZR -f p3) -
-тг (Hi - 3R2) (Я -Z),
= 120Я3 - 108ZRp3 - 12 (Za-f 5/?) ц4 -f 4(x§ + 6v4 (Z2fl -f 2Zp3 -f Hi) -
- 2v^R (,u4 - 3Я2) -b 6vr^MX - 2).
При аппроксимации pt (г) отрезком ряда Эджуорта с учетом моментов до
четвертого порядка в правой части последнего уравнения добавится
слагаемое lOuJ.
Пример 6. В задаче примера 3,
Y = X = Z-j-V2, Z = -Z0+V1!, 0=0,
при аппроксимации pt (г) отрезком разложения по полиномам Эрмита или
отрезком ряда Эджуорта с учетом моментов до четвертого порядка уравнения
(13), (14) и (22) имеют вид
Z- Z0 - Rt2~\~^i2 Rw (А! - Z), 0 - - v2 R12 (X - Z),
Rn = v4 - 20i?44 - 2ZRi2 - 2fi2i - v21i?n v2 fi3o (X - Z),
Ry2,- (r)Ri2 - ZR22 fi12 У2 RllRl2 + V2 ,U.21 (X -Z),f
R2.2 = - v-r'Ri2 -f v.r'ui, (X-Z),
q
Изо - 3RuR22-*30(130 - 3Z[i2i - Зц.31-- V2 1/?iiM-3o"b'v2 1 (m-40 -
3^h)S(X - Z),
(Л21 - 2R12 20^21 2ZjX12 2^-22 ~2 ^12^30 V ^llM-21 ~r
+ v21 (M-31 - 3^11^12) (X- Z),
M-]2= Rl2R'22 (c)^12 2fi03 fi13 V2 1^?12M'21 2"v2 1^llM'12'b
-j- V2 1 (1^22 - ^11^22- 2^12) (X -Z),
3
ИоЗ~ Tf ^12^12 (M'l 3 3/?i2^?22) (X - Z),
Hjo - 12^i2l^3o - 24^nfiai - 40(i4o - 4Z,Li3x -
2v3 ^11 ((^40 - 3^11) +6V2 1 ^11(130 (X -Z),
Н31 " -3^22^30 - 15^12^21 - 9/?xi(Ix2 - 30fi3x - 3Z|I22 ~b 13
-)-3v2 ---2" V2 1 #12^40 2" v2 1^llM'31 + 3v2 1 (i?i2U3o + ^llM-2l)
2),
§8.2. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ 51 Г
И 22 - ' 6R22,11 21 - 1 О/? 12 - 2-^11 ЦоЗ - 2(c)|^22 2Zfll3 -{-
г Vo1R11R22 - 5vo1R11R12 - V21 (^12^31+ Л11Ц22) +
J" v2 (7?22Ц30 + 4^12^21 -T ^11.^12) (-X Z) r
M13 = -G/?22Ml2 - 3/?|ofUl3 - @Pl3 - Z\I04 " ' 3v2 R\% {RllR22~\~ R12)-
2* v2 #12^22-----V'2 ^11^13 + 3v2 1 (^22fi2lH" ^12Hl2) (-V-Z),
Mo-i ^-2va Rj 2 (Pl3-37^12-^22) "Г ^V2 R22^12 {X 2).
8.2.3. Метод семиинвариантов. Если параметрами функции р* (г; 0),
аппроксимирующей апостериорную плотность pt{t) величины Z, служат
семиинварианты, то можно вывести стохастические дифференциальные
уравнения, приближенно определяющие эти апостериорные семиинварианты.
> Для этого продифференцируем по формуле Ито (3.61) выражение
семиинварианта кг через характеристическую функцию {ТВ, п. 4.5.4)
d(ikl)r'...d(ap)р
- ln^ W
Я= о
В результате получим
сЫг
д\г\
d(iX1)r'...d(iXp) р
y-d\ngt (Я)
Х=о
(25)
Стохастический дифференциал сЛп^ДЯ) находим по формуле Ито (3.61).
Пользуясь обозначением (21) коэффициента при dY - q\dt в выражении
стохастического дифференциала (7.16) характеристической функции ё'ДЯ),
будем иметь
d In gt (Я) = ехр {- In gt (Я)} dgt (Я) +
-f- у ехр {2iXTZ¦-2 In gt (Я)} kty1v\fikTdt.
Подставив это выражение в (25), заменив стохастический дифференциал
dgt(K) его выражением (7.16), пользуясь формулой (6.58) и учитывая, что
согласно (24)
512
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
пслучимТуравнения для апостериорных семиинвариантов вектора Z состояния
системы:
dy.r - firdt-f Лг (dY - /(1) dt) +
ГР \' 1-1 г.. . г .
L L
¦X
dt
(ri - qiV- ¦ ¦ ¦ (rp - q")\
qx-0 qp= 0 1 q |= 2 ' s= 1
X V ______________• ¦ -1^ [R rSf _
Zd VU! ... Vj ! ... Vjl! ... v, ! LI r-r'1
Vj+ . . . +V5=<7
-Г Чг-q (dY - fM dt)j [llr1flvW+
ri rP \r\~2 , [I? l/г]
+ v V V r.r v x
Zd Z*t (r1 - q1y....(r-qp)\ Zd s!
(7i=0 Яр- 0 i q 1 = 2 S- 1
ri-"7i rp-qp
x у *v,. __________ у у
Zd Уц! ... Vi"! .. . v5l! . . . vspl Zd Zd
Vi + . . . + \7s- Q л=0 Ip-0
I r-<7 I- 1
... ^ **¦ Crp-Qp^ityiVtyiViT-q-l
M 1=1
(rlt rp = 0, 1, I /" | = 3, Л0, (26)
где /(1), Рг, лг определяются формулами (16), (23) и (24). При выводе
этих уравнений мы учли, что k(Y, 9, 0, /) = 0, первые производные функции
ехр {iXTZ - ln.oy(^)} по iX равны нулю и что производные функции ехр
{2iZT - 2 Ingy (Я)} по iX отличаются от производных функций ехр {гАт -
lngy (Я)} только тем, что все семиинварианты в выражении (6.58)
удваиваются. При этом мы воспользовались векторными индексами г = [/у ...
гру, Я = [<7i • • • ЯРУ, Vk = [vAi • ¦ • vkp]r, /=[/!... /Д т. <4
Добавив к (26) уравнения (13) и (14), получим полную систему уравнений,
приближенно определяющую апостериорные семиинварианты вектора Z, от
которых зависит функция р* (z\ 0).
За начальные значения семиинвариантов хГ при t = t0 следует принять
соответствующие семиинварианты условного распределения величины Z0
относительно Y0.
Обратим внимание на то, что при | /¦ | = 1 матрицы-строки лг совпадают с
соответствующими строками матрицы h в уравнении (13),
Л<ч = Ло, .... 1 й = К (А=1, ..., р),
я *
а при | г | = 2 их элементы представляют собой соответствующие элементы
квадратных матриц рг в уравнении (14),
[Piftft • • • Pmfefe]> 11eh+ei tPlAt • ' ' P/nfti]
(/2, I = 1, • • • , p)>
S8..\ МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ
513
В последнем можно убедиться, сравнив преобразованное в п. 7.2.9 уравнение
(7.24) для dRkl с соответствующим уравнением (22).
Метод семиинвариантов для приближенного решения задачи оптимальной
