Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
найти стохастический дифференциал момента р,г, как и в п. 6.4.2,
дифференцированием формулы, выражающей рг через характеристическую
функцию.
> Напишем сначала уравнения для апостериорных математического ожидания Z
и ковариационной матрицы R. Заменив в выражениях математических ожиданий
в (7.21) и (7.25) апостериорную плотность Pt(z) аппроксимирующей её
функцией р* (z; в), получим уравнения
dZ = f dt-\-h(dY-/ш dt), (13)
111
dR = - hip1v^hT) dt 2 Pr (dYr - [^dt), (14)
r- 1
где
CO
/ = /(Г, 0, 0= S <p(Y,-z, t)p*(z; Q)dz, (15)
- CD CD
/(1, = /(1)(Г) 0| /)= J ф1(У> Zf t)p4z- Q)dZf (16)
i.2. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ 507
/<?> = /<" O', 0, 0- S [(z-Z)v(Y, z, ty -f
- оо
+ ф(К, z, t)(zT- *г)-;-(фуфт)(Г, Z, t)]p*(z; Q)dz, (17)
I *
h = h(Y, 0, 0=( \ [2tfi(F, 2, 0r-f
' - CD
+ (^V1),I)(K, 2, t)}p*(z- 0, (18)
CD
Pr = Pr(^> 0. t)= ^ [(z-Z)(zr - Z)ar(Y, 2, t) +
+ (z - Z)br(Y, z, ty + br(Y, z, t) (zT - ZT)1 p* (2; 0) dz
(r = 1, . . m), (19)
a 0 -совокупность моментов Z, R, [тГ (rlt r" = 0, 1, N;
|г| = 3, N).
Для вывода уравнений для остальных моментов иг продифференцируем формулу
IV
<5 И
Lld(ll4)ri---d№p) р
7=0
выражающую апостериорные моменты через апостериорную характеристическую
функцию g^(A,) (ТВ, п. 4.5.3). В результате получим
dpr = Г---------^-----г- de~^2gt (Ь)1 . (20)
L d(iy)r'.. .d(iZp) Р _Ь. = 0
По формуле Ито (3.61), принимая во внимание (7.16) и (13), находим
& /лч .л-r
'hT\dt,
de~a zgt (X) = - iZre~ik 2 gt (л) dZ -j- e~iL zdgt (/.) +
+ T) 2 (iZ,)(iZ)e-ixTzgt(Z)hs^1v\lplhTQ-2 /ггМфК,
Z ls,<?=l s=l )
где hs - s-я строка матрицы h, определяемой формулой (18), a
( ОС
k = k(Y, 0, Z, 0 = { $ [Фx(Y, z, ty +
I - ф
-r iZ1 (ipvtjjJ) (Y, 2, ^)] е17-т<г-2) p* (2; Q)dz -
-fnue-^2gt(Z)}(^1^l)-1(Y, t). (21)
Подставим полученное выражение de~aTz gt(Z) и дифференциалы dZ и dgt(Z)
из (13) и (7.16) в (20) и вычислим каждое слагаемое
508 ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
по отдельности (конечно, как и прежде, с заменой Pt(z), где надо,
аппроксимирующей функцией р*(г\ 0)). Пользуясь формулой (6.52), находим
? { ---------------- - [ 17'ТФ (*V z> о -
д^У'.-.д^Хр) р L
-5-/У (фуфг) (У, z, t)X ei?-T{z~z)\. и* (г; Q)dz =
z J / >¦-о
р *
= 2 rs \ фд (У, 2, /)(г1-21)'-*. - .(zs - Zsys-i. ..
¦¦¦(Zp-^)Гр /У(г; 0)dz +1V rs(rs- 1) \ oss(Y,z, t) {Zy-...
s= 1
• ¦ -(Zs - ZsY*-2- ¦ -(Zp-ZpYpP*(z'' Q)dz +
P r
+ 2 2 rsrq \ aг (У-, z, t)(Zi-Z4)o. . ,(zs-Z'Y*-1. . .
<7-2 s = 1
...(г9-2/"-1...(г;>-2^^(г; 0)dz,
1 =!u----------------------------------------+
I 5(iXi) l...d(ilp) p Ь.= о 14_rM ' (3 (i7i)r'.. .d(ihp) p
+ lAT (фтУфС) (У, Z, /)] ei>.r(z-Z) I ^*(2; 0)dz -
J Л = 0
-/(1> T fV j (Ф1^Ф1)_1(У, t) =
( "
= i 5 Ф1(У' z> 0T(2i-¦21)r'. • .(2^-Z^)rr/?* (2; 0)dz +
(,-co 0 "
+ 2^ i (Ф^ФТ)ЛУ. 2, 0(2!-^i)'1- • .(zs -Z,)'*"1. ..
s= 1 -CO
• • -{Zp - ZpYppHz-, Q)dz - fa) T\ir j- (Ф^ФТ)"1^, /),
)
{----------------- 7rVK){iK)e-t,J?gt{>.) \ =rsrqur_es_eq,
I d (iki) . .d(iXp) p I X= 0
д'П ... . ... ...
- 2es '
I 7Г (ilsY e-tfzgt (A) I =rs(rs-l)iir_s
I d (iXj) 1.. .d(ikp) p h.= o
____________________________
d(il1)^...d(iXs)rs-1 ...d(iXp)'
( =r J-------------------------------------------^------------rl
I d(&1)r' ...a(a)p /я=о l й(а1),''..щ(а4)^-1...й(а")р lx=o'
§ 8.2. МЕТОДЫ. ОСНОВАННЫЕ НА ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ 504
где, как и в гл. 6, es - вектор, все компоненты которого равны нулю,
кроме одной s-й, равной единице. В результате получим уравнения
/ р р
d"r= 2 ''sfs^r-es-rjl^ rs{rs- 1) +
\ S=1 S=1
<?s ' 2
D q- 1 p
<7=2 5 = 1 s = 1 /
-- ' '1,-2 rshsVr-e)(dY-f^dt) (22)
(ru . . ., rp = 0, 1, . . ., jV; I r J = 3, . . ., N),
где
pr = (3r(F, 0, /) =
= 2^ i -¦Z1)r'...(zJ -Z,)^-i...(z^ -Z^p*(z;0)dz+
s=i -i
p ОС
+ yE ¦'',('•,-1) \ orw(K, г, t)(z1~Z1)r^...(zs-ZsYs^...
s = 1
p " ~ 1 r
• • -(2,,-ZF)rPp*(z; 0)d2-f 2 2 V? J <3sq(Y, z, 0(Z1 -
2i)ri-• -
q=2S=1 _e
• • -(2,-Zsys-1. . .(2" - z/v1. . .(z,-Zp)Tpp*(2\ Q)dz, (23)
^(r,0v)H *и^.б.ьод -
I 5(i/.1)ri.. .d(ikp) p I 7=o
( "
= 4 ^ ((,(Г, г, /)T(21 - Zi)^.. .(г,-Zp)rPp*(z; Q)dz +
V - x
p r -
2 '3 \ (V^)^(F, 2, 0(2,- ^iV*- • .(Zs - Zsys-1.. .
s = 1
I,
• • -(zp - Z/pp*(z] Q)dz - /(1)трГ-е5|(ф1т-ф1)-1(^, t), (24)
fs - s-й элемент матрицы-столбца /.определяемой формулой (15). -4 За
начальные значения моментов рГ при / = /" следует принять соответствующие
условные моменты величины Z0 относительно Уд.
Уравнения (13), (14) и (22) определяют приближенно все моменты, от
которых зависит аппроксимирующая апостериорную плотность pt(z) функция
р*(г; 0). В качестве p*(z; 0) обычно берут отрезок ортогонального
разложения плотности pt(z) (12), в частности разложения по полиномам
Эрмита, или отрезок ряда Эд-
.510
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
жуорта. В последнем случае можно рассчитывать на более точную
аппроксимацию плотности pt(z) при данном наивысшем порядке учитываемых
моментов.
При м[е р 5. В|задаче примеров][1 и 4,
r==X = Z-f Vt, Z== -Z3 + ZVb
при аппроксимации pt (г) отрезком разложения по полиномам Эрмита с учетом
