Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Z = - Ze - R12 0 = v21/?12 (2^ -~Z),
Rn - vi -2 (07?xx -j- ZR12)
R12- 07^12 Z/?22 v'2 RllRl2t
R-22~ ^2 lRl2l
где /?n, R22, R12 - апостериорные дисперсии и ковариация ошибок оценок Z
и 0 соответственно. За начальные значения Z, 0, Rllt R22, R12 следует
принять соответствующие априорные величины, причем 0О, R22о и R12о всегда
приходится брать произвольно, так как априорной информации о параметре 0
обычно нет, за исключением, может быть, информации о возможном диапазоне
его значений.
504
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
§ 8.2. Методы, основанные на приближенном решении уравнений оптимальной
фильтрации
8.2.1. Метод моментов. Начальные моменты. Если аппроксимировать
апостериорную плотность pt(h) вектора состояния Zt системы некоторой
функцией р* (г; 0), зависящей не только от апостериорных математического
ожидания Z и ковариационной матрицы R вектора Z, но и от его
апостериорных моментов до порядка N включительно, то к уравнениям для Z и
R придется добавить уравнения для апостериорных моментов аг или цг (rit
... ..., гр = 0, 1, ..., N; [ г | = 3, ..., АО*)-
> Чтобы вывести уравнения для апостериорных начальных моментов аг,
положим в (7.15) f(z) = Z[1 ... Zrpp. Тогда будем иметь
ft = df/dt = 0, df/dZs = rsZ[l ...Z'r1 ...Zrf (s = 1..............p),
d2f/dZ2s = rs(rs- 1)Z^ .. . Zrss~2 . .. Zrpp (s = 1, ..., p), d2f/dZs dZq
= rjrft • • • ?Г1 • • • Z'r1 .. • Zrp (s= 1, ..., <7 - 1; <7 = 2, ...,
p),
tr[/zz(W)]= 2 (d*f/dZsdZq)esq(Y, Z,t) =
S, Q- 1
= 2Мг,-1)а"(Г, Z, t)Z['...Zrr12 ...z;p +
s - 1
+ 2 2 2 rsrvasq(Y, Z, t)Z? ... zr1 .. . Z^1... Z'f,
q=2s=\ 4
где osq(Y, Z, t) - элементы матрицы o(Y, Z, t) = (\j>vtpT) (Y, Z, t).
Подставив эти выражения в (7.15), получим следующие стохастические
дифференциальные уравнения для апостериорных моментов вектора Z:
dar = |3Г dt + цг (dY-/(1> dt)
(гг гр = 0, 1, ..., N-, |r | = 1, ..., АО, (9)
где
Р, = Р,(^, 0, 0 =
р "
= Sa J <рЛ^. z> OzV • • • • • • z'ppp*(z; Q)dz +
S = 1 Л,
*) Как и в гл. 6, г представляет собой векторный индекс г = [гг ...гв]т,
а I г | =/i+ . • • -\-гр.
§8.2. МЕТОДЫ. ОСНОВАННЫЕ НА ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ 5Q5
+ 4 2 Mr,-1) S oss(Y, г, t)z\' ... zr1 ...zr/p*(z-, Q)dz +
S-• I - CO
P ?
+ 2 2 \ a,, (У, z, Oz? • • • zp 1 . . . zrqLl 1 ... zr/p*{z; 0)dz,
<7= 2 s = 1
(10)
+ = Лг(^, 0> 0 =
f *
= 1 [ qi(Y, Z, tyz'x1 ... Zppp*(z\ Q)dz - faiTar +
V - X
+ 2 Г Л (фхф]+(Н, z> t)z[l . . zl*-1 . . . zrppp* (z; 0) dz\x
s= 1 _ * J
xM^I)"1^. t),
CO
/(i) = /(i)(r! e, /)= 5 ф1(Г, z, t)p*(z; 6)dz, (11)
- co
а (^1)5-s-я строка матрицы i|m|+ Интегрирование уравнений (9) при
начальных значениях моментов аг при t = t0, равных соответствующим
условным моментам вектора Z0 относительно Y0, приближенно определяет все
апостериорные моменты аг (ги ..., г р= = 0, 1, N\ |г| = 1, ..., N),
составляющие вектор параметров 0.
При аппроксимации апостериорной плотности pt(z) отрезком
ортогонального'разложения вида (2.41),
pt{z) = p*{z\ 0) = (г)
1 + 2 2 cvj0v(z)], (12)
k=3 | v \ = k J
РГ, r\r и fw представляют собой линейные функции моментов аг (|г( = 3,
..., АО с коэффициентами, зависящими от моментов первого и второго
порядков:
N .V
Рг = Ро,г Д- 2 2 Pv.+v ((r)0" Лг==+.г + 2 2 Ylv.rQvi^y
k=3 | v \-k к=3|v\=k
/(1! = /<ol,+ 2 2 /+?v(+),
k=3Iv\=k
так как в силу формулы (2.38) cv~qv(a), а величина qv(a) при j v| ^3
представляет собой линейную функцию моментов аг (| г \ = = 3, ..., |v|) с
коэффициентами, зависящими от моментов первого и второго порядков (п.
2.3.1).
При аппроксимации плотности pt(z) отрезком ряда Эджуорта (2.46) с учетом
моментов до Аг-го порядка число слагаемых в сумме по k увеличится до 3/V
-6 и коэффициенты cv при |v|>+ не
5С6
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
будут равны <7V (а) = Gv (u), а будут функциями семиинвариантов-до N-ro
порядка, которые надо будет заменить их выражениями; через моменты.
П р имер 4. Для задачи примера 1,
У Л Z Iд, Z =- - Z3 л ZV\, уравнения (9) имеют вид (оц 9 z, 'и Z' Л?|
l = -a3-('x2-Z2)(A--Z),
a2 = - 2a4-rV1o'2 +v-J1 (a3 - Za2) (X - Z),
cc3 = 72Z3 - 180Z3a2 -j - 3 (v4 -j- 20Z-) a3 - 15Za4 -- 90Zed - 30a2a3 -
Tvi 1 (rj-i -Za3) (X- Z),
a4--256Z*- 480Z4a2-r 160Z;ia3 4-6v1a4-f 120af- 60ct2"4-|-
4- v-У1 (4Zcc4 - 20Z2a3-}-60Z3a2 - 30Za|j + 10c'.2a3 - 24Z5) (X - Z).
При аппроксимации апостериорной плотности отрезком ряда Эджуорта с учетом
моментов до четвертого порядка в правой части последнего уравнения
добавится слагаемое 10lu3= )0(a3 - 3Za2-j-2Z3)2.
8.2.2. Метод моментов. Центральные моменты. Уравнения для
апостериорных центральных моментов выводятся значительно сложнее, чем для
начальных. Их можно вывести, вычислив по формуле Ито (3.61)
стохастический дифференциал апостериорного центрального момента рг,
рассматриваемого как функция начальных моментов, стохастические
дифференциалы которых определяются формулами (9) совершенно так же, как в
п. 7.2.9 была выведена формула (7.24) для стохастических дифференциалов
элементов апостериорной ковариационной матрицы вектора Z. Можно также
