Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
- X
OO
[(2я)* | R ]]-'/2 [zcpj (F, г, /)r -j- (i];v^) (Y, z, /)] X
- cc
x exp {- (zT - ZT) (z-Z)/2} dz -
- Z/(1) (F, Z, Я, 0TJ 0. (6)
00
f<"(Y, I R> t) = [(2n)P\R\]-^ 5 {(z_Z)q>(F, z, 0T +
- 00
+ Ф (F, z, 0(zT - ZT)-t-(4'vnbr)(F, z, /)} X
x exp {- (zr- ZT) (z-Z)/2} dz, (7)
00
Pr(F, Z, R, t) = [(2n)P\R\]-4' S {(z-Z)(zr-ZT)ar(F, z, *) +
+ (z-Z) fcr(F, z, /)T-| fcr(F, z, *)(zT-Zr)}x xexp{-(zT -Zr)7?-1(z -
Z)/2}rfz (r = 1, ..., m). 4 (8)
За начальные значения Z и R при интегрировании уравнений (2) и (3) так
же, как и в п. 7.3.1, естественно следует принять условные математическое
ожидание и ковариационную матрицу величины Z0 относительно F0:
Z0 = М [Z0! F0], R0 = М [(Z0 - Z0) (ZJ - Zf) I F0].
Если нет информации об условном распределении Z0 относительно F0, то
начальные условия для уравнений (2) и (3) можно взять в виде Z0 = MZ0, R0
= M(Z0- MZ0)(Zl - MZl). Если же и об этих величинах нет никакой
информации, то начальные значения Z и R приходится задавать произвольно.
h(Y,Z, R, 0 = {
502
гл. а. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Из формулы (8) видно, что если функция qpj линейна относительно Z, а
функция ф не зависит от Z, то при нормальной аппроксимации апостериорного
распределения все матрицы рг равны нулю, вследствие чего уравнение (3) не
содержит dY.
Пример 1. Найти алгоритм оценивания состояния системы примера 6.15,
Z = - Z3 + ZV1,
по результатам наблюдения величины Z с аддитивной помехой К2> пред*
ставляющей собой нормально распределенный белый шум, независимый от Vi¦
Наблюдаемый процесс в этом случае определяется уравнением Y = = X =Z~VV2-
Процесс W (t) в уравнениях (1) состоит из двух независимых скалярных
вине|ровских процессов W2 (t), слабыми с. к. производ-
ными которых служат белые шумы Vi и V" соответственно. Соответствующую
структуру имеют в этом случае матрицы
Ф(У> г, t) = \z 0], ipi(y, 0 = [0 1]
и
где Vj и v2 - интенсивности белых шумов V\ и 1'2 соответственно. Функции
ф и ф! определяются формулами ф (у, г, t) = -г3, q>i(y, г, t) = z.
Уравнения (2) и (3) имеют вид
i = -Z0 + 3R) + v21R(X-Z),
R = К - 6R) (Za + R) - \vV2.
Эти уравнения приближенно определяют оптимальную оценку Z состояния
системы и апостериорную дисперсию ошибки. За начальные значения 2 и R
следует взять априорные математическое ожидание и дисперсию величины Z0,
поскольку К0 не задано и может быть взято совершенно произвольно,
независимо от Z0.
Пример 2. Найти алгоритм приближенной оптимальной фильтрации процесса,
определяемого уравнением
Z = - Z3 + Vlt
если аддитивная помеха в наблюдениях представляет собой нормально
распределенную случайную функцию с ковариационной функцией k (т) -De~a I
т1.
Уравнение наблюдения в этом случае может быть записано в видеХ= = Z -\-U,
где X - Y. В соответствии с рекомендациями п. 7.2.12 дифференцируем
уравнение наблюдения и подставляем в полученное уравнение значение U из
уравнения формирующего фильтра помехи (пример 5.2),
U --- aU + '/2,
и значение U из уравнения наблюдения. В результате получаем Х= - аХ + aZ-
Z3-VVi + V2.
Заменив уравнение наблюдения этим преобразованным уравнением наблюдения,
сводим задачу к задаче оптимальной фильтрации § 7.2 при фх (х, г, t)=
§8.1. МЕТОД НОРМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
503
= - ax-\-az - z3, = [ 1 1]. Уравнения (2) и (3) имеют в этом
случае вид
Z = - Z (Z2 + 3tf)-Mv'i + v2)-1 [Vl-f atf -
- 3R(b-!rR)] [X + aX - aZ + Z(Z2 + 3tf)],
R = Vi - 6R (Z2-{- R)- (v1-j-v2)~1 [Vl + afl -ЗД2 (Z2 +
- 6 К + v2)-W[X +aX-aZ + Z (Z2 + R)],
где в соответствии с результатами примера 5.2 интенсивность v2 белого
шума V2 равна 2Da.
Чтобы найти начальные условия для полученных уравнений, воспользуемся
приемом п. 7.3.6 для нахождения условных математического ожидания и
дисперсии начального значения Z0 процесса Z относительно Х0. Так как X0 =
Z0 - Ug и помеха U распределена нормально и независима от Z, то
безусловные дисперсии и ковариация величин Z0 и Х0 равны соот-
ветственно U0, U0 - D й D0. Допустив, что Z0 -нормально распределенная
величина, и пользуясь известными формулами для условных математического
ожидания и дисперсии одной компоненты нормально распределенного
случайного вектора относительно другой, находим начальные значения
величин Z и R:
Zg = М [Zo | Х0] = DgXg/(Dg -f- D) ,
Rg= М [(Z0-Zo)2l X0]=D0D/(D" + D).
Пример 3. Найти приближенно оптимальный алгоритм оценивания состояния Z
системы, описываемой скалярным уравнением
Z = - 0Z-f Vj,
и неизвестного параметра 0 по результатам наблюдения процесса X = Z+V'2>
где V2- белый шум, независимый от V1.
Следуя приему п. 7.1.2, заменим параметр 0 случайным процессом 0 (t),
определяемым уравнением 0 = 0, и примем за расширенный вектор состояния
пару [Z 0]т. Тогда уравнения (1) будут иметь вид
K = X = Z+[ 0 1][У, V2]r,
Ч
v2\
Таким образом, в данном случае р = 2, ф (у, г, 0, t) = [-z0 0]т, фх (у,
г, 0, t)=z,
' 1 0 о о
Z Z0 + ' 1 0
0 0 . .0 о.
%(</, О =Ю 1].
ъ'Яи (X -Z),
-1 п2 "V2 Alii
ф(у, Z, 0, t) =
Уравнения (2) и (3) имеют вид
