Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
dZ = cp(Y, Z, t)dt + ty{Y,Z,t)dW, ( '
линейны или линейны только относительно вектора состояния Z при
независимой от состояния функции ф. Конечно, уравнение (7.16) и формула
(7.17) или уравнение (7.18) и формула (7.19) дают точное решение задачи
оптимальной фильтрации в общем случае для любых уравнений (1),
удовлетворяющих условиям, при которых была выведена формула (7.15).
Однако это решение неэффективно, так как не может быть реализовано
практически. Для нахождения оптимальной оценки вектора состояния
необходимо решить уравнение (7.16) для апостериорной характеристической
функции или уравнение (7.18) для апостериорной плотности вектора
состояния Z после получения результатов наблюдений и лишь после этого
можно вычислить оптимальную оценку вектора Z по формуле (7.17) или
(7.19). Но методов точного решения уравнений (7.16) и (7.18) в общем
случае пока еще не существует. Численное решение этих уравнений в задачах
практики тоже невозможно, так как для этого требуется много времени, а
решать их необходимо каждый раз после получения результатов наблюдений.
Кроме того, практическое применение теории оптимальной фильтрации § 7.2
имеет смысл только в тех случаях, когда оценки можно вычислять в
натуральном масштабе времени по мере получения результатов наблюдений.
Действительно, теория § 7.2 дает оптимальные оценки в каждый момент t по
результатам наблюдений, полученным к этому моменту, без использования
последующих результатов наблюдений. Если эти оценки не могут быть
вычислены в тот же момент t или хотя бы с фиксированным приемлемым
запаздыванием, и их вычисление приходится откладывать на будущее, то нет
никакого смысла отказываться от использования наблюдений, получаемых
после момента t, для оценивания состояния системы в момент t. Поэтому для
статистической обработки результатов наблюдений после окончания
500
ГЛ. 8. СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
наблюдений целесообразно применять другие методы (см., например, [57],
гл. 15, или [56], гл. 18).
Необходимость обрабатывать результаты наблюдений в натуральном масштабе
времени непосредственно в процессе эксперимента привела к появлению ряда
приближенных методов оптимальной фильтрации, называемых обычно методами
субоптималь-ной фильтрации. Одни приближенные методы основаны на
приближенном решении уравнения (7.16) или (7.18), а другие - на
превращении формул (7.21) и (7.25) для стохастических дифференциалов
оптимальной оценки Z и апостериорной ковариационной матрицы ошибки R в
стохастические дифференциальные уравнения для Z и R путем разложения
функций <р, ду и ф в степенные ряды и отбрасывания остаточных членов.
8.1.2. Параметризация апостериорных распределений. Для приближенного
решения уравнения (7.16) для апостериорной характеристической функции
gt(Z) вектора Zt можно применить те же методы, основанные на
параметризации распределений, которые были применены в гл. 6 для решения
уравнений (5.38) и (5.41) для конечномерных распределений случайного
процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением. Эти
методы дают стохастические дифференциальные уравнения для параметров
апостериорного распределения. Простейшим таким методом является метод
нормальной аппроксимации апостериорного распределения. Другие методы
основаны на использовании в качестве параметров апостериорных
распределений моментов, семиинвариантов или коэффициентов ортогонального
разложения апостериорной плотности вектора состояния системы.
Подчеркнем еще раз, что все получаемые дальше стохастические
дифференциальные уравнения, так же как и уравнения § 7.2, представляют
собой уравнения Ито. Характерной чертой уравнений Ито в теории
оптимальной фильтрации, отличающей их от других форм стохастических
дифференциальных уравнений, является то, что дифференциал наблюдаемого
процесса Y всегда
входит в них в комбинации dY¦-q^dt. Иными словами, в уравнения Ито всегда
входит дифференциал соответствующего обновляющего процесса (п. 7.3.3).
8.1.3. Нормальная аппроксимация апостериорного распределения.
> Так как нормальное распределение, аппроксимирующее
апостериорное распределение вектора Z, полностью определяется
апостериорными математическим ожиданием Z и ковариационной матрицей R
вектора Z, то при аппроксимации апостериорного распределения вектора Z
нормальным все математические ожидания в правых частях формул (7.21) и
(7.25) для dZ и dR будут
определенными функциями Z, R и t, т. е. (7.21) и (7.25) будут
представлять собой стохастические дифференциальные уравнения,
§8.1. МЕТОД НОРМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
501
определяющие Z и R:
dZ = f (Y, Z, R, t)dt-Rh (Y, Z, R, t) [dY - (F, Z, R, t) dt], (2)
dR={fM(Y, Z, R, t)-h(Y,Z,R,t)(]hv^l)(Y, t)h(Y,Z, R, ty}dt+
-Г 2 PAY, Z, R, t)[dYr-f?>{Y, Z, R, t)dt], (3)
r = !
где
f(Y, Z, R, t) =
Ж
= [(2я)^ | R |]-'/г J if OR z, t)exp{-{z-'-Z0R~4*-Z)/2}dz, (4)
- ж
f(tm){Y, Z, R, t) =
<C
= [(2л)^|7?|]-'/2 ^ rfl(F, z, t)exp {- (zT - ZT) ft-^z -Z)/2}dz, (5)
