Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(k=l,...,N). <4 (56)
Уравнения (54) - (56) представляют собой замкнутую систему уравнений,
определяющую Zlt ..., ZN, ((),..., qN (t), Rlt..., R,v. Следовательно,
они полностью и точно решают задачу оптимального распознавания в
рассматриваемом случае. После решения уравнений (54) -(56) оптимальная
оценка вектора состояния системы или расширенного вектора состояния Z,
включающего все неизвестные параметры, линейно входящие в уравнения (8)
наряду с вектором Z, находится по формуле (53).
ЗАДАЧИ
7.1. Пользуясь обозначением (3.63), написать формулу для стохастического
дифференциала оптимальной оценки величины f (Zt, t) случае векторной или
матричной функции f(Z,t).
7.2. Пользуясь формулой (3.85), вывести из (18) стохастическое уравнение
в 0-дифференциалах для апостериорной плотности pt (г) для скалярных
процессов Y (t) и Z (/). Случай 0-1/2 рассмотрен в [73]. Указание.
Принять во внимание, что коэффициент при dY в (18) зависит от пяти
случайных процессов ф! (Yt,z,t), цц (t), d(\|m]3i)T(K, z, i)/dz, pt(z),
dpt(z)/dz, для которых стохастические дифференциалы Ито находятся по
формулам (3.61), (15), (18).
7.3. Показать, что оптимальный линейный фильтр для сигнала Zt = Aect (А -
случайный коэффициент), наблюдаемого с аддитивным нормально
распределенным белым шумом V интенсивности v, Y = X = Zi-j-V,
определяется уравнением
ii^cZi + pC-Zx) Я/v,
498
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
где R находится из уравнения R = 2cR. Написать уравнение оптимального
линейного фильтра для векторного случайного коэффициента А.
7.4. Показать, что оптимальный линейный фильтр для сигнала Z = = Z0^-At
(Z0, А-случайные величины), наблюдаемого с аддитивным нормально
распределенным белым шумом V интенсивности v, Y - X - Z-j-V',
определяется уравнением
Z = Z + {X-Z) R/x,
где R находится из уравнения R = -R2/x. Написать уравнения оптимального
линейного фильтра для векторных Z0 и А.
7.5. Написать уравнения оптимального линейного фильтра для сигнала
Z- J] Aptp, наблюдаемого с аддитивным нормально распределенным белым
Р= 1
шумом. Рассмотреть случай векторных случайных коэффициентов Ар.
7.6. Написать уравнения оптимального линейного фильтра для сигнала Z в
линейных системах задач 1.1 -1.11, наблюдаемого с аддитивным нормально
распределенным белым шумом. Входной сигнал х считать постоянным.
7.7. Пользуясь уравнениями примеров 2 и 3, написать уравнения линейного
оптимального фильтра для выделения полезного сигнала Z1=Z0-pAt
(Z0, А - случайные величины) и стационарной случайной функции с
кова-
риационной функцией
k (т) = De~a\x\ ( cos w0t ~ - sin w01 т | )
V "о J
из аддитивной смеси его с помехой с ковариационной функцией (т) вслу-
чаях: a) ^x(t) = v6(t); б) (т) ~D^e~a\x\-t в) kx (т) ~Die~rx iW cos сщт.
7.8. Построить оптимальный фильтр для выделения полезного сигнала,
представляющего собой сумму синусоиды данной частоты to0 со случайными
амплитудой и фазой и стационарной случайной функции с ковариационной
функцией k (т), из аддитивной его смеси с помехой с ковариационной
функцией ki (т) в случаях, когда функции k (т) и kx (т) представляют
собой линейную комбинацию типовых ковариационных функций п. 4.1.5 и
задачи'5.1.
7.9. Найти оптимальный экстраполятор в условиях задач 7.4-7.8.
7.10. Наблюдается брауновское движение частицы (трехмерное) прибором,
измеряющим координаты частицы с аддитивной помехой в виде белого шума.
Найти оптимальный линейный фильтр для случаев: а) безынерционного
прибора; б) прибора, представляющего собой апериодическое звено с
постоянной времени Т и коэффициентом усиления к. У к а з а н и е.
Движение частицы описывается уравнениями примера 5.16 при п - 3 с
постоянной обобщенной массой A(q)~A и П (q) =qTCqj2.
7.11. Во время прямолинейного горизонтального полета самолета с
автопилотом в турбулентной атмосфере измерительный прибор записывает
углы, определяющие положение самолета в пространстве, как функции
времени. Измерительный прибор для каждого измеряемого угла представляет
собой апериодическое звено с постоянной времени Т и коэффициентом
усиления k, входным сигналом которого служит измеряемый угол с аддитивной
помехой в виде: а) белого шума; б) случайного процесса с экспоненциальной
ковариационной функцией. Найти оптимальный линейный фильтр для обработки
показаний измерительного прибора (т. е. для оценивания углов). Указание.
Воспользоваться уравнениями примера 1.10 и задачей 1.16, предполагая, что
отклонения рулей достаточно малы и что рулевые машины мгновенно
отрабатывают требуемые отклонения рулей. Спектральные плотности случайных
функций Wy и Wz, рассматриваемые как функции времени, определяются
формулой задачи 6.21.
ГЛАВА 8
СУБОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
§ 8.1. Метод нормальной аппроксимации
8.1.1. Общая характеристика приближенных методов оптимальной
фильтрации. Эффективное точное решение задач оптимальной фильтрации
возможно только в рассмотренных в § 7.3 случаях, когда уравнения (7.8),
dK = cFl(K, Z, t)dt + ^{Y, t)dW,
