Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(К, 0=0, ао(У. 0 = 0, ф(К, 0 = 0. Уравнения (43) и (44) в этом
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
495
случае принимают вид
d§ = Rbx (У, 0Т ('РЛЧ'!)-1 (У, t){dY-[b!(Y, t)@ + b0(Y, t)] dt}, dR = -
Rbx(Y, 0T(i|3iVi|3l)-1(^, t) b1(Y, t) R dt.
Поскольку параметр 9 неизвестен и может в действительности не быть
случайным, начальные условия для 0 и R приходится брать произвольно.
Полученные уравнения дадут в этом случае оценку 0, оптимальную в
предположении, что параметр 0 случаен и имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием 0О и ковариационной матрицей R0.
7.3.10. Оптимальное распознавание в линейных системах. Точное решение
задачи оптимального распознавания легко получается для линейных уравнений
(8), а также в более общем случае, когда уравнения (8) линейны только
относительно Z.
> В случае линейных уравнений (8) сигналы Y и Z определяются для
различных классов сигналов, т.е. для значений 0Х, . . ., О.у параметра 0,
уравнениями
dY=[b(Qk, ОК + Ь, (0*, t)Z + b0(Qk, t)j dt + ^(t)dW, dZ = [a(0A,
t)Y+ai(Qk, t)Z+a0(Qk, t)]dt+^(Qk, t)dW (k=l, (48)
В этом случае
фlft = &(0*, о^ + М0*, ОА + М9*. 0 (k = U
где Zx, ...,Z\-условные оптимальные оценки вектора состояния Z при 0 =
0i, . . ., Qk, определяемые уравнениями типа (32):
dZ,; = [а (0/,, t)Y-ax (0ft, t) Zk + а0 (0,, t)] dt + p* {dY-[b (0*, /) Y
+ -fM9*,0^ + M9*, t)\dt} {k=\, (49)
где в соответствии с (31)
Р* = [ЯА(9*. ААААН9*. 0] (AvA)_1(0 V), (50)
а апостериорная ковариационная матрица Rk вектора Z при Q = 6k
определяется уравнением (30):
Rk=^a{Qk, t)Rk + Rka(%, ty + (i|jvi|5t)(0ft> t) - [AM9*. 0T +
т (t'A) 0] (ТлАГ1 (0 A (0s. 0 Rk + (AAr) (0ft, 0]
= (51)
Уравнения (27) для апостериорных вероятностей классов при этом принимают
вид
dqk{t) = {Y'b{Qk, ty у Zlbx (Qk, ty + b0 (0*. ty-- 2 qh{t)[Y'b{%, 0t +
3EM9a. 0t+M9a, 04} x
ft= l
X ^(O^iVTpiJ-^oldy- 2 </a(0I>(9a" t)Y+bi(0A. t)Zh+b0(Qh, OJ^)
\ h=i I
(Л = 1.............................. (52)
496
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Уравнения (49) и (52) представляют собой замкнутую систему уравнений,
определяющую Z±, ZN, <71 (/), q.\(t) при соот-
ветствующих начальных условиях. Оптимальная оценка вектора состояния Z
определяется после этого формулой
2= 2 qk(t)Zk. < <53>
k= 1
Таким образом, уравнения (49) и (52) полностью и точно решают задачу
оптимального распознавания для линейных систем.
При м е р 14. Найти оптимальную систему обнаружения несущего информацию
сигнала Z, определяемого линейным уравнением Z==a1Z --а0-рфК в случае
приема сигнала X~biZ-{- '/, где V - белый шум интенсив-
ности V. В этом случае параметр 6 имеет два возможных значения 01=1
(сигнал Z присутствует в принимаемом сигнале) и 02 = О (принимается один
шум). Уравнение, определяющее сигнал Z, запишется в виде
Z = 0 (d\Z -р По) -]- 0фхV.
Уравнения (49), определяющие условные оптимальные оценки сигнала Z при
гипотезах 0=1 и 0 = 0, имеют вид
Z\ = OiZ1 а0Рт (X - biZi-b0),
i2=p,(x-*A-ft0).
Апостериорная вероятность qx присутствия сигнала Z в силу (52)
определяется уравнением (напомним, что щ + 92=1 при всех г)
Qi - (Zi - 2-1) blqx (I-9l) (фттф!)-1 [X-q^ (Zt
Оптимальная система обнаружения в данном случае представляет собой
последовательное соединение двух параллельно соединенных фильтров
Калмана- Бьюси, вырабатывающих соответствующие условные оценки Z1 и Z2
сигнала Z, устройства, интегрирующего дифференциальное уравнение,
определяющее апостериорную вероятность qt сигнала Z, и порогового
устройства, выдающего сигнал тревоги (сигнал о присутствии Z) в случае,
когда щ становится больше 1/2.
Если помеха в наблюдениях является результатом преобразования белого шума
формирующим фильтром, то принимаемый сигнал X подвергается
предварительному преобразованию в соответствии с теорией пп. 7.3.4-7.3.7.
7.3.11. Оптимальное распознавание в случае уравнений, линейных
относительно вектора состояния. Задача оптимального распознавания легко
решается также в более общем случае системы, линейной только относительно
вектора состояния Z.
> В этом случае Y и Z для различных классов сигналов определяются
уравнениями вида (41):
dY = [b1(Y, 0*. t)Z + b0(Y, 0*. t)]dt + ^(Y, t) dW, dZ=[a1(Y, 0Й, t)Z +
a0(Y, Qk, *)] dt + ty(Y, Qk, t)d.W
и на основании (42)
Фи = М^> 0А, t)Zk + ba(Y,eh, t) (k=\, ..., N),
ЗАДАЧИ 497
где оптимальные оценки Zlt ZN вектора Z при 0 = 01, . . 0V вместе с
соответствующими апостериорными ковариационными матрицами Ru RN
определяются уравнениями (43) и (44):
dZk = [ai (Y, 0*. t) Zk + a0 (Y, 0*. t)] dt + \Rh (Y, 0*. ty +
+(W (Y,Qk,t)] (^I)-1 (Y, t) {dY-lh (Y, 0A, ty^-bMY, 0/;, t)]dt],
(54)
R^aAY^^yRb + R^iY,^, /)T + (W)(K, 0*. t)-
-[RAW- %, 0T + (^I)(^ e*> 0] [(^i)-l(r, t)x x [byY, Qk, /) АЛ +
(Ф1^ФТ)(И, Qk, 0] (*=1, ...,A'). (55)
Уравнения (27) для апостериорных вероятностей классов в этом случае
принимают вид
dqk = {ZlbAY, 0/г, ty + b0(Y, 0*. ty-- 2 qh(t)\zibyy, еА, ty+ЬАУ, 0Л,
t)x
h=l
( N - 1
X ydY-Д qh(t)[b1{Y, 0Л, t)Zh+b0{Y,Qh, t)]dtj
