Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
системы, для управления которыми необходимы их предварительная
организация и введение элементов системы управления в каждый элемент
системы с установлением соответствующей иерархии управления, мы будем
называть большими системами. Таким образом, большая система отличается от
простой не только высокой размерностью векторов состояния, входного и
выходного сигналов, но и тем, что она требует качественно другой
организации процесса управления. Вследствие этого для большой системы
необходимо строить математические модели всех ее подсистем, а при
исследовании функционирования всей системы с помощью моделей ее подсистем
часто приходится включать людей для принятия решений на различных этапах
функционирования системы, а также для выполнения других функций, которые
не поддаются алгоритмизации (математическому описанию).
На первом этапе развития теории управления она изучала только такие
системы, математические модели которых можно было построить на основе
законов физики. Современная теория
§1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
25
управления изучает процессы управления любыми системами, в том числе и
такими, для которых нельзя построить математические модели на основе
законов физики и других отраслей науки, пользующихся количественными
закономерностями. Для таких систем математические модели обычно строят
путем статистической обработки результатов наблюдения работы системы
(пример такой модели дан в [12]).
Входной и выходной сигналы любой системы представляют собой функции
времени. Если они определены для всех моментов времени, начиная с
некоторого начального момента, то модель системы называется непрерывной.
Соответственно и саму систему называют в этом случае непрерывной. Если
реализации входного и выходного сигналов определены только на дискретных
множествах моментов времени, то модель системы называется дискретной. В
этом случае и саму систему обычно называют дискретной. Впрочем,
дискретные модели часто применяются и для описания поведения непрерывных
систем. В частности, для расчетов на цифровых ЭВМ всегда применяются
дискретные модели, независимо от того, являются ли соответствующие
системы непрерывными или дискретными.
Значения входного и выходного сигналов в каждый момент времени могут быть
скалярными, конечномерными векторными или элементами некоторых
функциональных пространств (т. е. функциями каких-либо переменных,
например, координат точки пространства). В последнем случае система
(точнее, ее модель) называется распределенной (или системой с
распределенными параметрами). Если и входной и выходной сигналы в каждый
момент времени являются скалярными величинами, то система (модель)
называется одномерной. Если входной сигнал, или выходной сигнал, или оба
они в каждый момент времени являются конечномерными векторами, то система
(модель) называется многомерной.
Что касается вектора состояния, то его значение в данный момент тоже
может быть скалярным, конечномерным векторным или функцией каких-либо
переменных, даже у систем (моделей), у которых значения входного и
выходного сигналов в каждый момент являются скалярными или конечномерными
векторными.
В этой книге мы будем рассматривать в основном непрерывные модели с
конечномерными векторами состояния, входного и выходного сигналов.
§ 1.2. Характеристики систем
1.2.1. Оператор системы. В дальнейшем мы всегда будем считать, что
математическая модель изучаемой системы построена, и говорить о системе,
подразумевая принятую модель этой системы. В частности, говоря о
характеристиках системы, будем иметь в виду характеристики ее
математической модели.
26
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Основной характеристикой системы является ее оператор" определяющий
механизм формирования выходного сигнала по данному входному сигналу.
Оператор детерминированной системы ставит в соответствие каждому входному
сигналу один определенный выходной сигнал. Таким образом, оператор
детерминированной системы отображает пространство входных сигналов в
пространство выходных сигналов.
Оператор стохастической системы ставит в соответствие каждому входному
сигналу определенное распределение выходного сигнала (конечно, зависящее
от входного сигнала). Таким образом, оператор стохастической системы
отображает пространство входных сигналов в пространство всех возможных
распределений на пространстве выходных сигналов.
Входные и выходные сигналы непрерывной системы обычно представляют собой
непрерывные ограниченные функции времени. Поэтому оператор
детерминированной системы отображает пространство непрерывных функций в
такое же пространство.
Пусть ~x(t) - входной сигнал детерминированной системы, представляющий
собой непрерывную я-мерную векторную функцию времени i, у (г1) -выходной
сигнал, представляющий собой непрерывную m-мерную векторную функцию t.
Обозначим буквой А оператор системы. Соотношение между входным и выходным
сигналами детерминированной системы можно записать в виде
