Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
состояния системы. Подставив в (21) и (25) выражения
4>(у, z,t) = a1(y,t)z + a0(y, t),
<?i(y, z, i) = K(y, t)z~-b0(y, t),
учитывая независимость фот Z и принимая во внимание, что для нормального
распределения все центральные моменты третьего порядка равны нулю,
получим совершенно так же, как в п. 7.3.1,
dZ = [al(Y, t)Z-\-a0(Y, t)\dtR-
'r[Rb,(Y, 0r + 0pvi|)I)(K, ОКФЛФТГЧП, t){dY-{b,{Y, t)Z +
~b0(Y,t)]dt}, (43)
^ = И(Г, t)R + Ra, (Y, 0T + (W)(K, t)-
-[Rb^Y, 0T + (TviR)(r, tttb^Y, t)R +
-ЕОМГ) O', t)]}dt. < (44)
Как и в случае линейной фильтрации, эти уравнения представляют собой
замкнутую систему уравнений, определяющую Z и R. Поэтому оптимальную
оценку Z вектора состояния системы Z и его апостериорную ковариационную
матрицу R, характеризующую точность оптимальной оценки Z, можно вычислять
по мере получения результатов наблюдений совместным интегрированием
уравнений (43) и (44).
Заметим, что в противоположность линейной фильтрации в данном случае
нельзя вычислить R заранее, до получения результатов наблюдений, так как
от результатов наблюдений зависят коэффициенты уравнения (44). Поэтому
оптимальный фильтр в данном случае должен выполнять интегрирование обоих
уравнений й(43) ;и (44). Это приводит к существенному повышению порядка
оптимального фильтра. Если линейный фильтр (32)всегда описывается
уравнениями того же порядка р, что и второе уравнение (28), то в
рассматриваемом более общем случае оптимальный фильтр описывается
уравнениями порядка р + р(р+ 1 )/2 = '=Р(р-гЗ)12.
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
493
> Докажем теперь, что апостериорное распределение вектора состояния
системы в данном случае нормально. Для этого достаточно показать, что
уравнение (16) для апостериорной характеристической функции gt(k) вектора
Zt имеет решение
?,(*.) = ехр |/А,т2 - , (45)
где Z и R определяются уравнениями (43) и (44).
Подставив в уравнение (16) выражения (42) функций ср и <plt приведем его
к виду
dgt {X) = М jtV {aJ.R а0) -у XH|mpTA,| ei}Jz | Y\aj dt -f
+ M [{(ZT-Zr) bj-ъ tV^I} I Y*t,] (MI)-1 [dY - (bxZ + ba) dt],
где аргументы функций alt a0, blt b0, фиф! для краткости опущены. Имея в
виду, что
M[iZe^z\Yi] = d-^-,
получим
dgt (>-) = Хта1Щ^ (iVa,-у ГфуфтА.) gy(?.) j dt -
i9 bl - (ZTfrI-Дтфуф1) gt (A.) j (ф^ф!)-1 [dY-i^Z + b0)dt],
(46)
Вычислим отдельно левую и правую части этого уравнения для функции gt(X),
определяемой формулой (45). Пользуясь формулой (3.61) дифференцирования
сложной функции в случае винеровского процесса W, принимая во внимание,
что стохастический дифференциал процесса Z(t) определяется формулой (43),
и имея в виду, что роль матрицы Y в (3.61) на основании (43) и первого
уравнения (41) в данном случае играет (йфт + т)пи[ф) х х (ф^'ф!)-1 фи
находим стохастический дифференциал процесса gt(X), определяемого
формулой (45):
dgt{b) = gt{b) ji/-T dZ -
- у tr [Мт (Rbl - ф^ф!) (ф^ф!)-1 ф^ф! (ф^ф!)-1 (bj.R -гф^фт)]л|-
- у Хт dRXgt (X) = gt (^) {{a1Z + а0) -
- у Хт (Rbl -- ф\?ф!) (ф^ф!)-1 (bxR + Ф^ФТ) X -
- - /Л [aTR+ Raj -f фуф'г-(Rbl + фvфI)(ф1vфI)-1(йa^?+ф1vфт)]^}^^/+
т gt M i^T (Rbl + WD (Ф^Ф!)'1 [dY-(bjZ -f b0) dt] =
494
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
= gt М [&т (aiZ + ао) - Y (a±R -г Raj -f т]т]5т) К] dt +
+ gt (Я) (ОД + WT) ('tiV'iK)-1 [dY-(bjZ + b0) dt],
или, так как XTRalk = k'raiRk,
dgt (^) = gt (^) 1ОД (aiZ + ao) - k1a1R'k-у Ятт]т|5тЯ]Л -f
+ gt (X) iV (Rbl + v^)-1 [dY- (bjZ -i- b0) dt]. (47)
Для вычисления правой части уравнения (46) заметим, что на основании (45)
d*$L = gt(%)[iZ-Rk).
Пользуясь этой формулой, находим
dt ¦
Xта1Щ^- + (t7;ra0-у Ятфуф ГЯ (А)
_ [- i W) bI , фЬ1_ gt (*,) j (^v^T) -1 [dY_ibiz+bo) dt] =
= gt(k) [ikT (a1Z-J-a0)-kra1Rk-ykTipvipTX dt +
+ gt M (&TRbl + ilTtyv\№) (гф^тфТ)-1 [dY-(bjZ - b0) dt].
Это выражение тождественно (47). Следовательно, нормальная апостериорная
характеристическая функция, определяемая формулой (45), с параметрами Z
nR, определяемыми уравнениями (43) и (44), удовлетворяет уравнению (46).
Это и доказывает нормальность апостериорного распределения вектора Zt и
справедливость уравнений (43) и (44), определяющих параметры Zt и Rt
этого распределения при начальных значениях Z и R в момент (0, равных
соответственно условным математическому ожиданию и ковариационной матрице
вектора Z0 = Zfo относительно Y0 - Yta.M
Изложенное обобщение теории оптимальной линейной фильтрации на случай
уравнений (8), линейных только относительно вектора состояния Z, дано в
[49, 50].
Пример 13. Процесс Y (t) определяется стохастическим (дифференциальным
уравнением Ито
dY^{h(Y, t)Q + b0(Y, t)) Щ + %(У, t)dW,
где 0 - неизвестный векторный параметр. Найти оптимальную оценку 0 при
каждом t > t0 по результатам наблюдения процесса Y в интервале времени
[/о, Д
Заменив вектор 0 случайным процессом 0 (t), определяемым дифференциальным
уравнением <20(0 = 0, и приняв (c) за вектор состояния Z соответствующей
системы (п. 7.1.2), получим дифференциальные уравнения вида (41) при щ
