Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
сигнала через точку разветвления (рис. 23, в, г, д) и перенести усилитель
с коэффициентом усиления а1 = а1- р/ц против хода сигнала через сумматор
(рис. 23, д,е) и, наконец, поменять местами получившиеся рядом сумматоры
(рис. 23, е, ж). Если перед входом фильтра Калмана - Быоси есть еще
дифференциаторы, то при повторении преобразования они все попадут в
прямую цепь, параллельную фильтру Калмана-Бьюси на рис. 23, е *).
В результате такого преобразования s-кратное дифференцирование входного
сигнала перед входом фильтра Калмана - Бьюси
*) Чтобы проверить эквивалентность всех схем на рис. 23, достаточно,
сравнить входной и выходной сигналы каждого преобразуемого участка схемы
до и после преобразования и убедиться в том, что они совпадают.
15 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
т
1/S
UT7-|-^^хГ
j --j ¦>. i.
1/S
Х'~7~Л-Л L f_J
'¦&г
гг.
г
1/s
р
f_j Г
4zh*
С5*
//з
ч
U
A L
7/s
а1
го-
Рис. 23
490
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
заменяется (s - 1)-кратным дифференцированием в цепи, параллельной этому
фильтру.
7.3.8. Оптимальная линейная экстраполяция. Для линейной системы (28)
при а = 0 в соответствии с общей постановкой задачи 2 в п. 7.1.6 легко
решается задача оптимальной экстраполяции состояния системы на данное
время А. Для этого достаточно выразить Zt+tb через Zt по формуле (3.32)
для решения линейного стохастического дифференциального уравнения.
> Приняв за начальный момент t, а за конечный ^ + Д, получим
i -г Д
Z/+zi = "(H- A, t)Z^-\- ^ A, x)a"(r)dr +
t
t + д
+ ^ u(t^-A, т)ф(т)ДГ(т),
где u(t, т) -решение однородного уравнения ut = a1u при условии и{т, т) =
/. Взяв условное математическое ожидание относительно У<0, найдем
оптимальную оценку будущего состояния Zt+д системы:
2i+Ut=M[Zt+A\Ytt,] =
t + д
= ы(^ + Д, t)Zt~\~ [ "(^-f А, т)а0(т)йт. ^ (40)
Таким образом, оптимальный экстраполятор представляет собой
последовательное соединение оптимального фильтра с усилителем с
коэффициентом усиления е = ы(^ + A, t) и с сумматором,
Фильтр
л
> (^) * >•
Рис. 24
добавляющим вырабатываемый соответствующим устройством детерминированный
сигнал - второе слагаемое в правой части формулы (40) (рис. 24).
Пример 10. В условиях примера 1
1
u(f + A, t) = и формула (40) дает
cos <в0Д - со0 sin со0Д
¦ sin (ОпД ш0
cos шпД
Л 7
^ii+д 11 = Zit cos со0АН-- sinш0Д,
<в0
+Д I / " - ZifCOg sin со0Д Т Z%t cos ш0Д.
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Пример II. В условиях примера 2 оптимальный экстраполятор представляет
собой последовательное соединение оптимального фильтра с усилителем с
коэффициентом усиления, представляющим собой матрвтяр u(t-\~Д, t) с
элементами
"и (/J-Д, /) = м2г(^ + Д. О-cos со 0Д,
"12 (f + Д> О - - Sin СО0Д, "21 (^-Ц Д. 0= 0>0 Sta'C0(A,
со0
Пзз (f-f- Д, /) =е"аЛ ^coscOiA-f-^- sm wxA j ,
Пч4 (/ ->-¦ Д, /) = -e " аЛ sin coiД,
COi
.... ^r\ f . о .
"44 (?-Д, 7)=e I coswjA sm Ш1Д ,
\ COi у
"43Р + Д, 0 =------- е_аЛ sin c°iA.
Wl
"1з(/ + Д, 0 = "14 (/ - Д, /) = "23 (/-'-Д, /) = "24 (/-Ь-Д , t)~
- "3lP"j~A> 0~"32Р^Д, 0 - "41 Р Д" 0~w42(^"bA, Щ =\?,
Пример 12. В условиях примера 3 оптимальный экстраполятав представляет
собой последовательное соединение оптимального фильтра с усилителем с
коэффициентом усиления, представляющим собой матрицу, элементы которой
определяются формулами предыдущего примера и формулами
м61 (t + Д, t) = -У -- (у cos ш"Д -j-w0 sinw0A - уе~7Л),
"о-f Y2
"ьгР + Л. 0 = ^4^-- (ysin со0Д -ш0 cos ШоД-; w0e~vA),
Шо + у2
м63(/ + Д, /) = 2^(l~g)e--------- {Wl (у - 2а) [cos сщД - е~{а^у)К\ +
"1 L(V -")" + "! J
+ (wl - а2 -f- ay) sin )>
"54 (t -г Д, t)= ^----------= {(у - а) sin WiA - coi cos ацД -ф-
o>ie(a-л},
Wi L(y-a)2-rwij
M55 (t + Д. t) = e fA,
"15^ + ^. t) - "25 "Г Д. /)=и35(/ + Д, П=-"4о(Н-Л. П=0.
Заметим, что решение задачи оптимальной экстраполяции возможно тольж(r) для
линейных уравнений (9). Для нелинейных уравнений теория остг-мальной
экстраполяции еще не разработана.
7.3.9. Случай уравнений, линейных относительно вектора состояния.
Рассмотрим теперь более общий случай уравнений линейных только
относительно вектора состояния Z системы
dY=[b,(Y, t)Z + b0(Y, t)]dt + ^(Y, t) dW,
dZ = [a1(Y, t)Z + a0(Y, t)]dt + y(Y, t)dW. 14
В этом случае при каждой реализации y(t) наблюдаемого процесса Y (t)
второе уравнение (41) линейно относительно Z. Поэтому из доказанного в п.
5.4.4 можно сделать вывод, что пр*
492
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
нормальном начальном распределении Z условное распределение вектора Zt
нормально для каждой реализации у\а = {ух\ х ? \tQ, /]} наблюдений Y при
всех t > t0. Это правдоподобное рассуждение, конечно, нельзя считать
строгим доказательством нормальности условного распределения Zt
относительно Y ¦ Тем не менее, как будет показано дальше, наш вывод
правилен.
> Приняв условное распределение Zf относительно Y*t" нормальным, напишем
для этого случая формулы (21) и (25) для стохастических дифференциалов
оптимальной оценки Z и апостериорной ковариационной матрицы R вектора
