Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Кгх = К0В1,
где Хц - ковариационная матрица вектора Z0, а Ки - ковариационная матрица
вектора начальных значений помехи и ее производных [?/Jt/oT • • •
U(0s~1)Ty. Полученные формулы полностью определяют математическое
ожидание и блоки К2 = К0, К2Х, Кх2 и Кх ковариационной матрицы вектора
[ZJXJXot . . . Х^_1)т]т.
Пользуясь известными формулами для условных математического ожидания и
ковариационной матрицы проекции нормально распределенного вектора
относительно его проекции на дополнительное подпространство (приложение
4, формулы (2) и (3)), находим
M[Z0 \х0, Хо, .... ХГи] =
= MZ0 + /C,*Xl1([X5XiT • • • ХГ1>ту-[МХт0МХ'т ... МХГ1)Т]Т)>-кг1* = к0-
к2Хк-укХ2,
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
487
где Кг \х--условная ковариационная матрица вектора Z0 относительно
[XlX'o*. . . X("S-1)T]T. Подставив сюда полученные выражения [МХ1МХ0Т ...
MX^~l)TY, Кх, К2Х и Кхг = К1х, найдем искомые начальные значения оценки Z
и ее апостериорной ковариационной матрицы R:
Z0 = MZ0 + K0BJ (В д0В1 -f WK Дг)-1X
х([ВДт ... X(r1,TV-B1MZt-B0), (38) R0 = K0-K0Bl(BxK0Bl^WKuW?)^BxK0- <
(39)
Отметим еще раз, что только при этих начальных условиях фильтр,
построенный методом п. 7.3.4 или п. 7.3.5, будет оптимальным.
Пр и м е р 7. Чтобы найти начальные условия для фильтра примеров 2 и 4,
будем считать коэффициенты при sta а>0( и cos со0t в выражении
синусоидального сигнала Z1 независимыми нормально распределенными
случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией D0.
Тогда, пользуясь формулами (2.56) и (2.57) для вычисления ковариационных
функций производных случайных функций Z\ и Z3 и их взаимных
ковариационных функций с их производными Z2 и Z4, получим MZW = - MZ20 -
MZ30 = 44Z4U - О, Кх ~ Dq-\-D ~ Diy Kzix~D о, Kz2x~ 0, Rz^x-D* Rztx = О,
Ko = Kz
~Do 0 0 0 -
0 co'oDo 0 0
0 0 D 0
_о 0 0 b2D__
е Вх = bx = [1 0 1 0],
В0 - 0, по формулам (38) и (39) находим
Zi0 = D0^o/(Oo'+04-Oi), Z20 = 0,
Z30=DX0i(D0 + D + Dx), Z4o=0,
R110 - Do - Do/(D0 -f- D -f- Di), R220 - MoDq,
R330 - D - D2/(Da-RD-{-Di), 7?440 = 6aD,
8,y = 0 при i X /.
Пример 8. В условиях примеров 3 и 5, принимая во внимание, что начальное
значение переменной Z5 в условиях задачи не определено, вследствие чего
его можно взять произвольно, в частности положить Z5o = 0, получаем те же
начальные значения Zt, Z2, Z3, Z4, 8,у (i, /=1, 2, 3, 4), что и в
предыдущем примере, и, кроме того, Z60 = 0, Rxsm -
= 8250 = 8350 = 8450 = 8550 = О-
Пример 9. В условиях примера 6 при Z40 = 0 формулы (38) и (ЗЩ
дают те же значения Z10, Z20, Z30, Z40, 8110. 8220. 833<ъ что и в примере
1,
и, кроме того, 8ио = 8240 = 8340 = 844о = 0-
7.3.7. Дифференцирующие свойства оптимального фильтра в случае
автокоррелированной помехи. Заметим, что если система предварительного
преобразования наблюдаемого сигнала, в частности система, обратная
формирующему фильтру помехи, выполняет s-кратное дифференцирование этого
сигнала, то на вход соединенного с ней фильтра Калмана - Бьюси поступают
произ-
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
водные наблюдаемого сигнала до порядка s включительно. При этом согласно
результатам п. 1.3.5 выходной сигнал фильтра будет содержать линейную
комбинацию наблюдаемого сигнала и его производных до порядка s-1
включительно. Эту линейную комбинацию можно выделить, применив метод п.
1.3.5 к дифференциальному уравнению фильтра Калмана - Бьюси, входной
сигнал которого содержит производные наблюдаемого сигнала.
I------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
---------1 I-------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
---------------------------1
Рис. 22
В результате фильтр Калмана - Быоси заменится параллельным соединением
системы, выполняющей дифференциальную операцию порядка s-1 над
наблюдаемым сигналом, и фильтра Калмана-Бьюси, получающего на вход сам
наблюдаемый сигнал с некоторым (в общем случае матричным) коэффициентом
усиления и выходной сигнал той части преобразующей системы, которая
описывается дифференциальным уравнением. Это преобразование можно также
выполнить структурными преобразованиями оптимального фильтра ([57], §
4.7). Для этого следует представить фильтр Калмана - Бьюси (рис. 22, а)
схемой, показанной на рис. 22, б, объединив обе обратные связи, а затем
каждый дифференциатор последовательно перенести по ходу сигнала через
объединенный усилитель (с коэффициентом усиления о = ур) (рис. 23, а, б),
потом через сумматор (рис. 23, б, в), затем перенести сумматор по ходу
