Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
и исключим из второго уравнения формирующего фильтра Ui с помощью
уравнения наблюдения, ?/1 = Х - Z4 - Z3. В результате приведем это
уравнение к виду
02^~2aU2 + b2 (Zj-fZs) - Ь"-Х + \\.
Положив U2 = Z4 -У и определив Z4 и У уравнениями
Z4 -2aZx -f b2 (Zi -f Z3) + l/j, Y = -2аУ -ф 62*,
будем иметь
x=z2-aZ3+Z4 -У-f V.
Расширив вектор состояния добавлением компоненты Z4, приводим задачу к
построению фильтра Калмана - Бьюси для преобразованного наблюдаемого
сигнала Хг--Х -j-Y. Этот сигнал получается как результат преобразования
наблюдаемого сигнала X системой, представляющей собой параллельное
соединение дифференциатора и системы с передаточной функцией
Рис. 21
62/(s-i-2a). Оптимальным фильтром в данном случае служит последовательное
соединение системы, преобразующей наблюдаемый сигнал X и дающей на выходе
сигнал Хь и фильтра Калмана - Бьюси для расширенного вектора состояния
[Z1Z2Z3Z4]T и наблюдаемого сигнала Хг. Схема этого фильтра представлена
на рис. 21.
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
485
7.3.6. Начальные условия в случае автокоррелированной помехи.
Фильтры, найденные изложенными в пп. 7.3.4 и 7.3.5 методами, оптимальны
только при определенных начальных условиях. Чтобы понять это, напишем
выражение для преобразованного наблюдаемого сигнала в виде
1 s ^
_Yi (t) = LX(t)-т \ w (t, т)Х (т) dx^= 2 chXm (t) + \w (t, т)Х(т)йт,
к=° t.
где w(t, т) - весовая функция той части системы, преобразующей
наблюдаемый сигнал, которая описывается дифференциальным уравнением. Эта
формула однозначно определяет X±{t) по данному наблюдаемому сигналу X(t).
Чтобы однозначно определить наблюдаемый сигнал X (t) по данному
преобразованному сигналу Х1(?), необходимо задать начальные значения
сигнала X (() и его производных Х'(/), ..., Х(5_1)(/). Таким образом,
между X (/), с одной стороны, и Xj]/), Х0 = Х (/0), Х'0 = Х' (*"), . ..
..., X(os_1) = X(s_1> (/0), с другой стороны, существует взаимно
однозначное соответствие. Следовательно, оптимальная оценка Z вектора
состояния системы Z, представляющая собой условное математическое
ожидание Z относительно Х]0 = {Х(т): т?[?0, /]}, совпадает с условным
математическим ожиданием Z относительно совокупности Х[/0, Х0, Х'0, ...,
XJX1'. Выходной сигнал построенного изложенным методом фильтра будет
представлять собой условное математическое ожидание Z относительно Х]<0,
Х3, Х'0, . . ., ХГ1', если за начальное значение оценки Z в момент t = t0
принять условное математическое ожидание вектора Z9 - = Z (/")
относительно Х0, Xd, . . ., Xds_1) и соответственно за начальное значение
R принять условную ковариационную матрицу R0 вектора Z0 относительно Х0,
Х'0, . . ., X[s_1). При таких и только при таких начальных условиях
выходной сигнал фильтра будет оптимальной оценкой вектора состояния
системы Z. Это было показано Бьюси, который независимо от Гулько и
Новосельцевой получил тот же фильтр и начальные условия, обеспечивающие
его оптимальность, в частном случае, когда формирующий фильтр помехи
описывается уравнением (35) при I = I, й = 0, а1 = ро= 1 [10].
> Чтобы найти условные математическое ожидание и ковариационную матрицу
вектора Z" относительно Х0, Х'0, ...,Xtf~l\ вспомним, что теория п. 7.3.1
была развита в предположении, что совместное распределение процессов Y
(/) и Z (/) нормально. Поэтому мы естественно предположим, что
распределения процесса Z (/) и независимой от него помехи U (/)
нормальны. Тогда совместное распределение величин Z0, Х0, Xd, ...,
Xj,s_1) будет тоже нормальным и условные математическое ожидание и
ковариационная матрица величины Z0 относительно Х0, Х'0, . .., Х^-1'
486 гл. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ашаюетью определятся математическим ожиданием и ковариационной матрицей
составного вектора [ZjXjXoT . . . X'0S_1)T]T.
Для нахождения математического ожидания и ковариационной матрицы вектора
[ZjXjXoT . . . X(0S_1>т]т напишем выражения дла^наблюдаемого сигнала и
его производных при t = t0, имея в виду, что каждое дифференцирование
произведения b^Z по условию дает линейную функцию вектора Z без белого
шума:
k
xr = blkz0 + ьг + 2 С?ф$-W (* = 0, 1, S- 1),
t = о
где b10, blt, blz s-x - значения матрицы Ь1 и полученных в результате
дифференцирования матриц-коэффициентов при Z0 при ? = t0, Ь00, Ь'ю, -
значения вектора Ь0 и его производ-
ных при t = tо, ф10, ф(0, •••> ФнГ1' - значения матрицы фх и ее
производных при t tо. Введя матрицу Вг = [bl0bh . . . b\t s-i]T. вектор
Bq - [bl0b'0l... Ь'оЪ-1*т]г и матрицу Ф с блоками ф,7 = = при i^sf,
ф/у = 0 при i < / (t, / = 1, s), можем
переписать полученные равенства в виде
[ВДТ ... Х(Г1)Т]Т = B,Z0 +B0 + V [UJU? ... НГ1)Т]Т-
Отсюда, считая математическое ожидание помехи тождественно равным нулю,
находим математическое ожидание вектора [Х%Х? ... X(0S_1)T]T:
[МХ1МХ? . . . уИХГ1,т]т = 5i^Z0 + В0,
"го ковариационную матрицу
Хл = ВгХ0В1 + ФХ"Ф[
я взаимную ковариационную матрицу векторов Z0 и [Х?Хёт . . .
... Хо_1)т}т:
