Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
d~tr~T, ('К1*)= dti-~ (^+ &<>)] ^ 1-ь+\-^гЯ1-ьУи
если ни при каком s</ - h ds [фг1 {b^Z -f- b0)]fdts не содержит белого
шума. В первом случае исключим из уравнений формирующего фильтра помехи
Ult . . ., Us с помощью уравнения наблюдения и уравнений, полученных из
него (s-1)-кратным дифференцированием. Во втором случае исключим из
уравнений формирующего фильтра помехи Ult и белый шум Vt
482
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
с помощью уравнения наблюдения и всех уравнений, полученных из него
дифференцированием. В обоих случаях получим для Us+1, Ut (s</-h) линейные
дифференциальные уравнения, в правых частях которых будут линейные
функции вектора состояния Z и линейные комбинации наблюдаемого сигнала и
его производных. Расчленив каждую из переменных . . ., Ut
на две части, одна из которых порождается линейными функциями вектора Z в
правых частях уравнений, а другая - линейной комбинацией наблюдаемого
сигнала и его производных, будем иметь
Us^k - Zk Yk (&=1, •••, / - s),
где Z[, . . ., Z\_s определяются дифференциальными уравнениями с
линейными функциями вектора Z, a Yu . . F,_s определяются темн же
уравнениями с линейными комбинациями наблюдаемого сигнала * и его
производных в правых частях. Расширив вектор состояния системы Z
добавлением к нему блоков Z'u ..., Z]_s и написав последнее уравнение,
полученное дифференцированием уравнения наблюдения, в виде
^ (фг1*) + v1=-?r [фг1 (biZ+ад + z;
при s </ - h п в виде
^ (ФГ1*) + ух ^[ФГ1 (ад ад- zj i t_Av,
при s - l-h, приведем задачу к построению фильтра Калмана - Бьюси для
наблюдаемого сигнала
=-^(Фг1*)^ад
Оптимальным фильтром в этом случае будет последовательное соединение
системы, формирующей сигнал *j(0 из наблюдаемого сигнала * (t), и фильтра
Калмана - Бьюси с расширенным вектором состояния [ZTZ(T . . . Z;'IS]T и
наблюдаемым сигналом
*ад. <
Пр имер 4. В условиях примера 2 дифференцирование наблюдаемого сигнала
дает
X = Z1 + Z3 + и = Z2 -j- Z4 - aU -j-Подставив сюда выражение U из
уравнения наблюдения, получаем X = Z2 + Z4- а (X - Zx - Z2) + Fi = aZ1-|-
Z2 + aZ3-f Z4 - аХ -j-Как и в примере 2, задача сведена к построению
фильтра Калмана - Бьюси для наблюдаемого сигнала Х1 = Х+аХ.
Пример 5. В условиях примера 3, представив уравнения формирующего фильтра
в виде ?/ = ?/4,
Ui = U2 + Vlt U2=--y2U1-2aUi+(y - 2a) Vlt
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙН АЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
483
и дифференцируя наблюдаемый сигнал, получаем
==Z2 \ U2 + Vi.
Исключив помеху U -Uх и белый шум !ф из второго уравнения формирующего
фильтра с помощью уравнения наблюдения и уравнения, полученного из него
дифференцированием,
Ui = X- Zx - Z3, Fx = X - Zo - Z4 - U2,
будем иметь
62 = - (Zi - Z3) - (v-2a) (Z2-j-Z4) - y2X + (y - 2a) X.
Положив ?/2 = Z' + F, где Z' и F определяются соответственно уравнениями
Z' = - yZ' + у2 (Zl _L z3) - (v _ 2a) (Z, + Z4),
F - yF - y2X + (y - 2a) X,
приводим задачу к построению фильтра Калмана - Бьюси для наблюдаемого
сигнала
X1 = X-F = Z2+Z4+Z' + Fi.
Чтобы убедиться в том, что полученный фильтр совпадает с фильтром примера
3, положим Z'- (2а - у) (Z1 + 2S) + Z6, F = -(2a-у) X - F'. Тогда после
элементарных преобразований получим для ZB и Y' уравнения
Д = 2Т (Y - a) (^i -г Z3) - yZ5, F' = - у Y' + 2у (у - a) X, а
преобразованный наблюдаемый сигнал Хх выразится формулой
X1 = к + (2а - у) X -Ь Y' = (2а - у) (Z4 + Z3) + Z2 + Z41- Z5 + Vt.
Отсюда непосредственно видно, что Xf представляет собой результат
преобразования наблюдаемого сигнала системой, обратной формирующему
фильтру, а уравнение для Z5 совпадает с соответствующим уравнением
примера 3.
Пример 6. Найти оптимальный фильтр для фильтрации сигнала,
представляющего собой сумму синусоиды известной частоты со0 с
неизвестными амплитудой и фазой и случайной функции с ковариационной
функцией k (т) =De~a I т I, в случае помехи с ковариационной функцией
к1 (т) = TV111 Iх! ^ cos cjjT -j- ~ sin mi | т | j .
В этом случае за вектор состояния системы принимаем трехмерный вектор,
определяемый уравнениями
Zx - Z2, Z2 =--cooZx, Zg --aZ3 -ф1,
где V - белый шум интенсивности v = 2Da. Формирующий фильтр для помехи
согласно результату примера 5.3 описывается уравнением
Н-ф 2aU + b*U = Vlt
где Ь2 = а2ф- mx, а Vi-белый шум интенсивности Vi = 2D1ab~. Система,
обратная формирующему фильтру, выполняет линейную дифференциальную
операцию второго порядка L=D2-1r2aD-{-bi. Наблюдаемый сигнал определяется
формулой X=Zx-f-Z3С/. Следовательно,
X = Zx + Z3 ф- U - Z2-aZ3 -I-jC/ -ф F,
и X содержит производную белого шума V. Поэтому операция L неприменима к
X, и X не может служить входным сигналом системы, обратной формирующему
фильтру. Метод же дифференцирования наблюдаемого сигнала применить можно.
Для этого заменим уравнение формирующего
484
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
фильтра системой уравнений первого порядка, положив Ui~-U,
U1 = U2, U2 = -b*U1-2aU2 + V1.
Продифференцируем наблюдаемый сигнал X =-- Z1-srZ3 - Uj,:
X = Z\ -ф- Z2 -|- U1 - Z2 - dZ2 -7-1/2 + V
