Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
давать оценку сигнала + необходимо на выходе полученного фильтра
поставить сумматор, выполняющий сложение оценок сигналов Zx и Z3. На рис.
18 в средней части обведена штриховой линией система формирования
сигналов Zx, Z2, Z3, Z4, справа внизу обведен штриховой линией усилитель
с матричным коэффициентом усиления 6Ь а слева вверху - усилитель с
матричным коэффициентом усиления (3.
Остается вычислить матричный коэффициент усиления |3. По формуле (31)
находим
-Ru Rl2 R13 Ru~
^12 R22 R23 R24
Rl3 R23 R33 R 34
_Rli #24 R31 Ra"
- a - -Pi-
1 1 P2
a 2 D4a Рз
_ 1 _ .Pl~
где
aR
Р1-
' Rp2'JTa'Rp3'i- Rpi
2 Dja
(p==\, 2, 3, 4).
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
479
Уравнение (30), определяющее ковариационную матрицу ошибки R, в данном
случае имеет вид
- 0 1 0 о - г'0 - "о 0 0 н
-"о 0 с 0 R-rR 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 - fe2
- 0 0 - fe2 - 2а- -.0 0 1 - 2а-
2Di<x
а а* 1 а а а? 1 а
р>л.
-0 0 0 ООО ООО ООО
0 ¦ 0 0
2 Dab*
Средний квадрат ошибки равен дисперсии суммы ошибок на первом и третьем
выходах оптимального фильтра, т. е. Rxx-'~2R13 - R3S.
П р и м е р 3. Рассмотрим задачу предыдущего примера в случае помехи U с
показательно-косинусной ковариационной функцией kx (т) = = Dxea I т I cos
со,т. В примере 5.3 было показано, что случайную функцию с такой
ковариационной функцией можно рассматривать как результат преобразования
белого шума \'х ин-
= 2D1a формирующим функцией
2
- ш2.
где у2 = а2 -
S.+Za-y
X-Z^Zz+V
2 у (у-a)
s+y
Рис. 19
тенсивности
фильтром с передаточной
(s'LT)/(s2 + 2as + y2),
Дифференциальное уравнение этого
фильтра имеем вид U -^2аЙ - y2U =
= Vi-\-yVi. Обратная система представляет собой параллельное соединение
форсирующего звена первого порядка с передаточной функцией s-j-2a - у и
апериодического звена с передаточной функцией 2у (у - a)/(s-fy) (рис.
19). В результате преобразования наблюдаемого сигнала X -Zx -j-Z3 + U
этой системой получится сигнал
Хх - (2а - у) (Zx -j- Z3) - Zx Z3 -j- Z5 -f- Vx =
=- (2a - y) (Zx -T-Z3)-\-Z2JrZi-'r Zs-\-Vi,
где Z5 определяется дифференциальным уравнением
Д,=^2у (У - a) (Zx ~rZ3) - yZ5.
Расширив систему предыдущего примера добавлением величины Z5, получим
систему с пятимерным вектором состояния, описываемую первым уравнением
(33) при ао = 0:
a i =
и преобразованный наблюдаемый сигнал, определяемый второй формулой (33)
при Ъх = (2.а - Р 1 2a -Р 1 1], b0 - 0, iji = [0 1]. Построив для этой
системы фильтр Калмана - Бьюси. получим оптимальный фильтр, показанный на
рис. 20. Штриховой линией обведена система предыдущего примера и
соответствующая расширенная система. Матричный коэффициент усиления (5
представляет собой матрицу-столбец с элементами
(2а- у) (Rpx + Rps)~\~Rpi т Rpi~г Rps Р =-----------------2--------------
---------- (р = 1, .... 5).
Г 0 1 0 0 С о 1 ,
-со2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 , ф=- 0 0
0 0 - fe2 -2а 0 1 0
_2у (у -а) 0 2у (у -а) 0 - Т-1 -0 0-
480
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Рис. 20
Уравнение (30) для ковариационной матрицы ошибки фильтрации имеет
в данном случае вид
г 0 1 0 0 0
1 Л о 0 0 0
Я = 0 0 0 1 0 R +
0 0 - 62 -2а 0
_ 2у (у - а) 0 2у (у - а) 0 - У -
-0 - со2 0 0 2у (у-а)
1 0 0 0 0
+ R ООО - Ьг 27(7-а)
0 0 1 - 2а 0
О О о 0 - У
-(2а- -Y)2 2а - у (2а -Т)2 2а - 7 2а - 7- -о 0
0 0 О"'
2а- -7 1 2а--у 1 1 0 0 0 0 0
(2а- -Y)2 2а -у (2а -7)2 2а -7 2а - 7 R + 0 0 0 0
0
2а- -7 1 2а - 7 1 1 0 0 0 2 Dab*
0
2а- -у 1 2а-7 1 1 . ...0 0 0 0 0_
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕИНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
481
7.3.5. Метод дифференцирования наблюдаемого сигнала. Изложенный
метод, как уже было сказано, применим только в том случае, когда
результат применения линейной дифференциальной операции L к фГ1^ с
заменой производной Z после каждого дифференцирования ее выражением из
первого уравнения (33) не содержит производных белого шума, т. е. если
все компоненты случайного процесса Z(t), входящие в уравнение наблюдения,
не менее гладки, чем помеха U (t). Если это условие не выполнено, то
наблюдаемый сигнал нельзя преобразовать системой, обратной формирующему
фильтру помехи, и метод Гулько- Новосельцевой неприменим. В этом случае
можно применить метод Брайсона-Йохансена [9], основанный на
дифференцировании наблюдаемого сигнала и исключении помехи и ее
производных, не содержащих белого шума, из уравнений формирующего фильтра
с помощью уравнения наблюдения и уравнений, полученных из него
дифференцированием.
> Приведем уравнение формирующего фильтра помехи (35) к системе уравнений
первого порядка, приняв U1 = U,
0k = U,+1 (/г-1, ..., l-h-l),
U.: = U^1-qkV1 (k = l - h, ...,/-1),
йi - - щ1 2 ai^i+1+ Ч1Уi-
i- 1
Дифференцируя уравнение наблюдения, умноженное слева на фг1 до появления
в полученном уравнении белого шума, будем иметь
(tr1*) = [фг1 (b,Z + Ь0)] -ft/*,, (6 = 0, 1, ...,s),
если
^[фгДЬ^ + Ь,,)]/^5 ПР1! s<^-h содержит белый шум, и
¦§Г (ФГ1*) = Й'1"1 ^2 + Ь°Я + *Vi (k = 0, 1, ..., l-h. - 1),
