Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
система, описываемая дифференциальным уравнением (36).
Пропустив наблюдаемый сигнал X через систему, состоящую из усилителя с
коэффициентом усиления фу1 и системы, обратной формирующему фильтру,
получим на выходе сигнал
Xf- L (фу 1b1Z) у- Zx -j- L (фГ1^) + Vlt
(37)
47G
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
где Z[- выходной сигнал системы, описываемой дифференциальным уравнением
(36) при х = фр1 (bjZ + b0),
2 2 "Л4ТW~b")]<*>.
к-- О
к-О
Приведя это уравнение к системе уравнений первого порядка подстановкой
Z'k+1 = Z'k - грдф1 (/^Z-г b0) (k=\, ...,h-1), как
это показано в п. 1.3.4, получим дифференциальное уравнение, определяющее
вектор Z' = [Z(T ... Z^T]T:
Z' = cxZArCiZ' -г cu.
Так как Z[ входит в выражение (37) преобразованного наблюдаемого сигнала
Хи то необходимо расширить вектор состояния системы Z, добавив к нему
вектор Z'. Тогда получим для расширенного таким путем вектора состояния
уравнение
Л.
dt
Z
1'
а1 О Cl с2
Z
Z'
+
V.
Чтобы сигнал Х1 имел требуемую для применения теории линейной фильтрации
форму, т. е. был суммой линейного преобразования расширенного вектора
состояния [ZTZ'r]r и белого шума, необходимо, чтобы выражение L(\j-r1b1Z)
не содержало производных белого шума V1. Для этого необходимо, чтобы
матрицы ф и ф имели соответствующую структуру. Физически это
соответствует требованию, чтобы фильтруемый полезный сигнал Z был более
гладким, чем помеха (имел производные более высокого порядка, чем
помеха). В этом случае, подставляя после каждого дифференцирования Z из
первого уравнения (33), получим L (фр1^) как линейную функцию b,Z вектора
Z. Тогда будем иметь
х, = b z+z; + + т, = ы [z^y ь0 г, = = ь; [ztz)t ... /б г"
где Ь[ = [Ь* / 0 ... 0]; здесь единичный блок представляет собой
коэффициент усиления блока Z( в выражении преобразованного наблюдаемого
сигнала Хг, а нулевые блоки-коэффициенты усиления блоков ZT, . . ., Z'fi.
Таким образом, мы привели задачу фильтрации процесса Z (/) при
автокоррелированной помехе в наблюдениях к задаче фильтрации составного
процесса [Z (/)т Z'(/)т]1 в случае, когда помеха в наблюдениях
представляет собой белый шум. Построив для этой задачи фильтр Калмана -
Бьюси, получим оптимальный фильтр для первоначальной задачи в виде
последовательного соединения усилителя с коэффициентом усиления фр1,
системы, обратной формирующему фильтру, и фильтра Калмана - Бьюси
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
477
для расширенной системы с вектором состояния [ZrZ'T]T (рис. 17). 4
В частном случае при h = 0 уравнение (35) дает непосредственно обратную
формирующему фильтру систему как систему, осуществляющую линейную
дифференциальную операцию
i
Ь = Ьог 2 akDk.
к- О
В этом случае преобразованный наблюдаемый сигнал Х1 определяется формулой
X1==L (ij h%Z) + L (ф1 ^o) -у K4 = b,Z + b'0 + K4,
и расширять систему не приходится. Оптимальный фильтр в этом случае
представляет собой последовательное соединение усилителя с коэффициентом
усиления фр1, системы, выполняющей линейную дифференциальную операцию L,
и фильтра Калмана-¦ Бьюси для преобразованного наблюдаемого сигнала Хг.
Пример 2. Построить оптимальный фильтр для выделения полезного сигнала,
представляющего собой сумму синусоиды данной частоты со" со случайными
или неизвестными амплитудой и фазой и стационарной случайной функции с
ковариационной функцией
k (т) =De~a I т и cos coix-f -^-sin coi | т I 'j ,
V "i j
из аддитивной смеси его с помехой, имеющей показательную ковариационную
функцию k1 (т) =D1e~a I т I.
Обозначив синусоидальный сигнал и его производную соответственно через Zi
(t) и Z2 (t), получим дифференциальные уравнения
Z1=Z2, Z2 --(OoZ4.
Стационарная случайная функция Zs(t), как мы видели в примере 5.3, может
рассматриваться как выходной сигнал формирующего фильтра, описываемого
уравнениями
Z3=Z4, Z4 -- b2Z3- 2 aZt-\~V,
где 62 = a2-'-co2, а V - белый шум интенсивности v = 2Dab2. Наблюдаемый
сигнал по условиям задачи определяется формулой
X -- Z, - Z3 - U,
где U - помеха с ковариационной функцией &4 (т) IT I. Таким обра-
зом, мы имеем систему с четырехмерным вектором состояния, описываемую
первым уравнением (33) при а0= 0:
г 0 1 0 о - -о 0-
- СО2 0 0 0 ф=- 0 0
Й1 = 0 0 0 1 0 0
- 0 0 - 62 -2а- _1 0_
Формирующий фильтр для помехи U, как мы видели в примере 5.2, описывается
уравнением 0 -\-aU - Vi, где - белый шум интенсивности v1=2D1a. Обратная
система представляет собой форсирующее звено первого порядка с
передаточной функцией s + a. Пропустив наблюдаемый сиг-
478
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
нал X через это звено, получим преобразованный наблюдаемый сигнал
Xi - X -faX - Z^ - aZx-j-Zg - aZ3-<-Vi = rJ.Zx - Z2-\ сiZ3-\-
Таким образом, преобразованный наблюдаемый сигнал определяется второй
формулой (33) при bl = [a 1 а 1], Ь0 = 0, = [0 1].
Применив изложенный метод, получим оптимальный фильтр, схема которого
представлена на рис. 18. Имея в виду, что в данном случае фильтр должен
