Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
коррелировано со значениями Yx процесса Y (t) при
> Действительно, на основании первого уравнения (28)
ДУ1 = У1(8)_У1(0 =
S S S
= У (s) - Y (t) - 5 (bYx + b1Zx + b0) dx - 5 bi {Zx-Zx)dx+^ ^xdW (t).
t t t
Математическое ожидание первого интеграла равно нулю вследствие
несмещенности оценки Zx при всех х > t0, а математическое ожидание
второго интеграла равно нулю вследствие того, что MW{t) - 0.
Следовательно, математическое ожидание приращения процесса Yx (t) на
любом интервале равно нулю и взаимная кова-
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
473
риационная матрица векторов ЛУ3 и Ус = У(а) определяется формулой
MAYх (У; - MYl) = MAY.YY
Подставив сюда найденное выражение АУХ, учитывая, что в силу первого
уравнения (28) Уа и AWX=W (х')- w (т) независимы при всех аяСт<т', и
пользуясь формулой полного математического ожидания (ТВ, п. 4.3.3),
находим при о • '
S
MSYTYI - \ЬЛМ (Zx-Z%)Y;dx =
t
5 s
= 5 b,M {M [Zx - ZT | Уф] У5} dx = J VM (Zx-ZT) Yldx = 0. <
t t
Таким образом, приращения процесса Ух (7) не коррелированы с прошлыми
значениями процесса У (7).
Если случайный процесс Ух(7) обладает свойствами: 1) при любом 7 > /0 его
значение представляет собой функционал от процесса У (т), т?[70, 7]; 2)
при любых ст еф 7 < s приращение Yj{s) - Уг(7) не коррелировано с У (о),
то процесс Yl(t) называется обновляющим по отношению к процессу У (7).
Таким образом, в уравнение (32) для оптимальной оценки состояния системы
входит не дифференциал наблюдаемого процесса У (7), а дифференциал
(конечно, стохастический) соответствующего обновляющего процесса У, (7).
Оказывается, что это общее свойство всех уравнений оптимальной
фильтрации. Процесс
t
У1(0 = У(7)-$ф1(т )dx,
и
дифференциал которого входит во все уравнения теории оптимальной
фильтрации § 7.2, всегда является обновляющим по отношению к У (7).
> Действительно,
$1(т) = М[ф1(Ут, ZX) т) | Уф]
представляет собой функционал от процесса У (о), ог€[70, т], при каждом
т> t0. Следовательно, Ух (7) при любом 7 > 70 представляет собой
функционал от У (т), т?[70, 7]. Далее, совершенно так же как в случае
линейной фильтрации, находим
МАУх= ^ М [ф1(УХ) Zx, т) - фх (т)] dx =
t
.s' S
= ^ M {M [срх (Ух, ZT, т) - срх (т) | Уф]} dx = j М (т) - (^(т^т-О
t t
474
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
И
МЬУгУ\
'Т
а
м [с(?1 (Ут, zT, т) - ф! (т)] г; Дг=
S м [ф! (т) - ф! (т)] Y*dx = О
при всех о Эб t. М
Таким образом, при оптимальной фильтрации в любой момент времени
используется лишь та часть поступающего в этот момент приращения
наблюдаемого процесса, которая не коррелирована с его прошлыми
значениями, несет существенно новую информацию. Этим и объясняется
название "обновляющий" процесс. Применение обновляющих процессов для
решения некоторых задач оценивания дано в [34].
7.3.4. Оптимальная линейная фильтрация при автокоррелированной помехе
в наблюдениях. Теория линейной фильтрации Калмана - Бьюси была
распространена на случай произвольной помехи в наблюдениях, для которой
существует линейный формирующий фильтр, описываемый дифференциальным
уравнением,. Брайсоном и Йохансеном [9] и Гулько и Новосельцевой [15,
16]. Мы изложим сначала метод Гулько - Новосельцевой, как более
естественный и простой.
Р В случае когда помеха в наблюдениях U не является белым шумом, второе
уравнение (33) заменяется уравнением
Предположим, что помеха U может рассматриваться как выходной сигнал
формирующего фильтра, описываемого дифференциальным уравнением
где Vt - белый шум. Идея Гулько и Новосельцевой состоит в том, чтобы
преобразовать наблюдаемый сигнал системой, обратной формирующему фильтру
(п. 1.3.5), и получить в результате сигнал Хг с помехой, представляющей
собой белый шум. Тогда задача сведется к построению фильтра Калмана -
Бьюси для преобразованного наблюдаемого сигнала. Само собой разумеется,
наблюдаемый сигнал X (t) следует умножить слева на фу1 перед пропусканием
через систему, обратную формирующему фильтру. Для этого необходимо, чтобы
функция тП ни при каком t не обращалась в нуль (в случае скалярных X (t)
и U (/)) или была
X - b±Z -4- b0 -j- ij.'jU.
(34)
I h
(35)
$ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
475
обратимой квадратной матрицей (в случае векторных X (t) и U (t)). Это
построение показано на рис. 17.
Как было показано в п. 1.3.5, система, обратная по отношению к системе,
описываемой дифференциальным уравнением (35)
Рис. 17
(т. е. к формирующему фильтру), в общем случае при h > О представляет
собой параллельное соединение системы, осуществляющей линейную
дифференциальную операцию
I-h
L=2ya?>''> D - cl/dt,
к-О
и системы, описываемой дифференциальным уравнением
аьх
ik)
k=0
k~0
(36)
где
а
<Хь
Yi-a = Pa4.
h + k 2 2 ^г + /Рг+/7Й/г-г
т - max (0, k-l + 2h) / = 0
(k = 0, 1, ..., l-h-l),
.... 2 2 Сг+$г+/У/г-г
r=max (0, k - l+h) j =0
(k = 0, 1, A-l).
Эта система обведена штриховой линией в левой части рис. 17, где буквой L
отмечена система, выполняющая дифференциальную операцию, а буквой /( -
