Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
так как в силу формулы полного математического ожидания (ТВ, п. 4.3.3) и
формулы (7)
М (Zt-Zt) = М {М [(Zt-Zt) I Y\J} = M (Zt-Zt) = 0.
*) Относительно матричных уравнений Риккати см. приложение 3.
470
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Уравнения (30) и (32) полностью и точно?решают задачу оптимального
оценивания состояния линейной системы, т. е. задачу линейной фильтрации.
7.3.2. Фильтры Калмана-Бьюси. Уравнения (30) и (32) были впервые
получены Калманом и Бьюси при а = Ь - 0 [35]. Это соответствует
практической задаче фильтрации полезного сигнала Z, определяемого вторым
уравнением (28) при а = 0, в случае, когда наблюдается сигнал b^-Rbg с
аддитивной помехой,
представляющей собой белый шум. Уравнения (28) в этом случае можно
переписать в виде
Z = a^Z + а0 + фК, X = &1Z-t-&0-j-i(j1V', (33)
где V-белый шум-производная винеровского процеса W (t). Уравнение
оптимального фильтра (32) в этом случае имеет вид
Z = axZ-f a0 + |3(X-biZ-b0).
Это уравнение определяет структуру оптимального фильтра. А именно,
оптимальный фильтр получается из данной системы (системы, формирующей
полезный сигнал Z; рис. 15, а) установкой перед ее входом усилителя с
коэффициентом усиления р и замыканием полученной системы отрицательной
обратной связью, содержащей усилитель с коэффициентом усиления Ьг (рис.
15, б). При подаче на вход полученного таким путем фильтра наблюдаемого
процесса X с вычтенной из него функцией времени Ь0 на выходе фильтра
будет получаться оптимальная оценка Z вектора Z.
Так как процесс Y (/), представляющий собой интеграл от наблюдаемого
процесса Х(^), при построении оптимального фильтра не используется, то за
начальное значение оценки Z при t = t0 следует принять априорное
математическое ожидание вектора Z0, 20 = MZ0, а при интегрировании
уравнения (30) для определения коэффициента усиления |3 за начальное
значение матрицы R следует принять априорную ковариационную матрицу
вектора Z0, R0 = М (Z0-MZ0) (Z%-/MZj). Однако обычно эти априорные
характеристики неизвестны. Это вынуждает брать произвольные начальные
значения Z и R. Конечно, при этом Z не будет
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
471
оптимальной оценкой вектора Z, а может быть лишь асимптотически
оптимальной, если только первое уравнение (33) и уравнение (30) описывают
устойчивый процесс (т. е. если система, описываемая первым уравнением
(33) и уравнением (30), устойчива).
Само собой разумеется, коэффициенты усиления |3 и Ьг в общем случае
представляют собой матрицы. Так что под усилителями мы понимаем здесь
усилители векторных сигналов, т. е. устройства, выполняющие линейные
преобразования поступающих на их вход векторов, определяемые
соответствующими матрицами - матричными коэффициентами усиления.
Оптимальные линейные фильтры, построенные изложенным способом, обычно
называются фильтрами Калмана- Бьюси.
Обобщение теории линейной фильтрации Калмана-Бьюси на случай а, Ьф 0 дано
в [49, 50].
Легко видеть, что к рассмотренной задаче линейной фильтрации сводится, в
частности, задача фильтрации любого сигнала, представляющего собой
линейную комбинацию конечного числа известных функций со случайными или
неизвестными коэффициентами. Действительно, если сигнал Zx(t)
определяется формулой
у
Zi(0= ZL Aptyp(t),
р= 1
то, как легко проверить непосредственной подстановкой, он удовлетворяет
линейному дифференциальному уравнению
Zi % (о • (t)
Zi V'i (t) ¦ 4w (/)
Z[V) #>(/) . .. o|;)v,)(/)
Приведя это уравнение к форме Коши, получим для вектора Z = [ZjZ] ... Z^Y
второе уравнение (28) при ц0 = ф = 0.
Пример 1. Найти оптимальный фильтр для фильтрации синусоидального сигнала
данной частоты ш0, наблюдаемого с аддитивным нормально распределенным
белым шумом.
Синусоидальный сигнал Z1(t) и его производную Z.i(t) = Z1(t) можно
рассматривать как компоненты вектора состояния системы, описываемой
дифференциальным уравнением
d ГД1 '0 1"
dt 2г\- - too 0 z2
Наблюдаемый процесс определяется формулой
Y = X=Z1 + V=[ 1 0]Z-\-V.
Следовательно, в данном случае а = а0 = b = Ь0 = ф = 0, b^ = [ 1 0], ф] =
1,
ГО П
472
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Уравнение (30) представляет собой систему уравнений 7?п = 2 R12 - v_17?n,
Rl2~ - Ct)o7?ii~|-7?22 - X~1RllRl2> R.22 - 2(Oo7?12 -v -
Определив 7?ц, RX2 и R22 интегрированием этих уравнений при начальных
условиях 7?П(С) Т?12 (О = MZXZ2, R22 (t0) = MzV, найдем средний
Рис. 16
квадрат ошибки фильтрации сигнала •Zi. Pii-M\_(Zi - Zi)2\Yf], и его
и коэффициент усиления
производной Z2, R22 = M[(Z2 - Z2)2IVfo
Rli Ri2
i = v-i Rbi = v-
Rl2 R 22
Rn
Rl2
3ll
J.J •
Уравнение (32) для оптимальных оценок Zx, Z2 имеет в данном случае вид
Структурная схема найденного оптимального фильтра показана на рис. 1.6.
7.3.3. Обновляющие процессы. Случайный процесс
Y1(t) = Y(t)-) (bYT + bxZx + Ь0) dx, и
дифференциал которого входит в уравнение (32) для оптимальной оценки,
обладает тем свойством, что его приращение на любом интервале [7, s] не
