Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
7.1.6). Это, во-первых, случай линейной фильтрации, который будет
рассмотрен в п. 7.3.4. Во-вторых, это случай, когда функция ф, в
уравнении формирующего фильтра п. 7.1.6 зависит только от времени /,
функция ф в уравнении (1) не зависит от вектора состояния, а функция cpj
в уравнении наблюдений (2) линейна относительно Z и U. В этом случае
задача сводится к уравнениям
Z = ср (Z, тГ,, = /) + ф2И2, X = b1Z + b.JJ1-rb0.
При этом в последнее уравнение могут входить не все компоненты вектора
Uly а только некоторые из них, образующие вектор помехи U. Дифференцируя
третье уравнение, приведем его к виду
х = (z, o-j-b'iZ-f ь2(р2'(?/а, t) + b2u1+b0 + [b1^ МфН^ГГ-
Исключив из этого уравнения и уравнения формирующего фильтра помехи все
компоненты вектора ?ф, которые могу г быть выражены через Z и X из
уравнения наблюдения X = bj^Z -{-b2U1Jrb0, получим уравнение типа первого
уравнения (8), если хотя бы одна из величин ^ф н Ь2ф2 отлична от нуля.
Поэтому решение задачи оптимальной фильтрации в этом случае принципиально
возможно при условии, что размерность векторного белого шума [Уф V|]T не
меньше размерности т наблюдаемого сигнала X и матрица
О1Ф
V! 0' ~ФьТ
О _Ф1ъ1_
'¦ b^v^Zbl + Ь2ф2у2ффЬф
играющая роль матрицы фхуфф в общей теории, обратима при всех t. В этом
случае, расширив вектор состояния Z добавлением к нему всех оставшихся
компонент вектора Ult можем написать для данной задачи все выведенные
формулы и уравнения теории оптимальной фильтрации.
468
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
§ 7.3. Оптимальная линейная фильтрация
7.3.1. Уравнения линейной фильтрации. Задачу оптимальной фильтрации
удается решить до конца в случае линейных уравнений (8):
dY. (bv у-г у dt -}- t,dw,
dZ = (aY - a1Z-{~a0)dt + i'dW, [ 1
где коэффициенты а, а1, с:(), Ь, У У ф и фу в общем случае зависят от
времени t. В этом случае, как было показано в п. 5.4.4, распределение
процесса \Y (t) Z (/)r]г нормально (п. 2.2.8) при нормальном
распределении его начального значения [yjZj]1. Следовательно, и
апостериорное распределение вектора состояния системы Z относительно
наблюдаемого процесса Y\ нормально, и для его определения достаточно
найти апостериорные математическое ожидание Z и ковариационную матрицу R.
Для этого обратимся к формулам (21) и (25) для стохастических
дифференциалов величин Z и R.
> Подставив в (21) и (25) выражения функций ср и qy,
Ф (у, z, t) = ay-R ayz-R аа, <рДг/, г, t) = by + blz + b0, получим
dZ = (aY -f- OjZa0) dt -j- {M [Z (Z1 -Z') | yy b]-j-
+ ФУФ} (ф^фГ)"1 [dY-(bY + bxZ+ b0) dt], dR = M[(Z~Z)(YIat + Z!a]-
'raTu)~t-
-t(aY + a1Z + a0)(Zr -ZT) + фмфr | yy dt -
- M [(Z-Z) (У rftT + ZTbl + ЬЪ) + i|jvi|3l | yy x X (ф^фТуМ [(bY + bxZ !
- K) (Zr -ZT) + фуУ | Vy dt +
m I p
+ 2 2 ahrM [(ZA-Zft)(Z-Z)(ZT-2T) I yy +
r=l (ft=l
-f M [Z -Z| yy p* + р,м [Zr - b I у у IX
где ahr-элементы матрицы a = bj (ф^ф?)-1, a j5r - r-й столбец матрицы
флн|ф(ф]^ф[)-1. Учитывая, что
м [z (zt-zr) | у у = м [(z-Z) zt I у у =
= M[(Z-Z)(Z--Z")|yy = J?, M[Z-Z|yy = Z-Z = 0,
М [(Z-Z) Ут I у у = м [Z-ZI уу Ут = о
§ 7.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
469
и что апостериорные центральные моменты третьего порядка равны нулю
вследствие нормальности апостериорного распределения, приведем полученные
формулы к виду
d.Z = (aY -j- aj -\-a0)dt -f
+ (Rb[ + ipv\pl) (флЖ)-1 [dY-{bY + bj + b0) dt], (29) dR = [aj -f Ra[ J
фтфr -
- (Rbl~\pv\pT1)(ty1vi\!T1)-1(bR---\\>1v-i\-is)]dt. (30)
Таким образом, формулы (21) и (25) в данном случае дают систему
уравнений, определяющую оптимальную оценку Z вектора состояния системы Z
и его апостериорную ковариационную матрицу R, характеризующую точность
оценки Z.
Обратим теперь внимание на два обстоятельства. Во-первых, матричное
уравнение Риккати (30) для апостериорной ковариационной матрицы R не
содержит Z и, следовательно, может быть проинтегрировано отдельно*).
Определив R, можно после этого найти величину
Р = (ВД + 1|^г|ф) (ф^ф))-1 (31)
и определить оценку Z вектора состояния системы Z интегрированием
уравнения (29), которое можно теперь переписать в виде
dZ = (aY J aj J аа) dt J p [dY - (bY -f bj -f ba) dt]. (32)
Во-вторых, уравнение (30) не содержит результатов наблюдений. Поэтому
апостериорная ковариационная матрица вектора состояния Z совпадает с
априорной ковариационной матрицей вектора ошибки Z = Z - Z оценки Z. Это
дает возможность определять R и вычислять коэффициент |3 в уравнении (32)
заранее, до получения результатов наблюдений. Тогда определение оценки Z
сведется к интегрированию уравнения (32) по мере получения результатов
наблюдений, что можно выполнять на практике в натуральном масштабе
времени непосредственно в процессе работы изучаемой системы.
Уравнения (30) и (32) при начальных условиях
Z (tf>) = Z0 = М [ZBI К0], R (t0) = R0 = M [(Z0-Z0) (ZJ-ZJ) | Y0]
определяют оптимальную оценку Z вектора Z и его ковариационную матрицу R
при всех t > t0. Эта оптимальная оценка Z несмещенная при всех t > t0,
